Теория ядерных реакторов - Белл Д.
Скачать (прямая ссылка):
CO
о* (х, Ho) = S ~г~ asi (х) P1 (|х0), г = о 4л
а затем Pi (Ho) выражается через полиномы Лежандра и присоединенные функции Лежандра, зависящие от направляющих косинусов и и и', с помощью теоремы сложения. После интегрирования по ф', как описано в разд. 2.6.1, уравнение (3.3) приводится к виду, аналогичному уравнению (2.79):
OO I
ц|^+о(*)Ф= 2оS^-Osi(X)PiM $ M-')Pi(M-W + Q(*. M-). (3.4)
Затем поток нейтронов Ф и источник Q также раскладываются в ряды по полиномам Лежандра, и следуя методам, описанным в § 2.6.1, находится, что
(„ 1) “ * г-Н.W + в “±».-¦ <*> + (2п + 1) о„ (х) ф „ (X) = (2в + I > Qn (х),
ах ах
п = О, 1, 2..., (3.5)
где ап (х) определяется соотношением
OnW = O(X)- Osn(X). (3.6)
Коэффициенты разложения фп и Qn (см. для сравнения разд. 2.6.1) определяются с использованием условий ортогональности:
і
ф n (X) = 2л J ф (Х> ц) рп (J1) d(x; (3.6а)
— і і
Qn(X) = 2л J Q(x, |х) Pn (|х) d|x. (3.66)
— і
101
Уравнение (3.5) имеет такой же вид, как и уравнение (2.82), в котором о = — 1, за исключением того, что а и Os здесь зависят от пространственной переменной. Так как полиномы Лежандра образуют полную систему функций в интервале — 1 |х 1, то система уравнений (3.5) эквивалентна исходному односкоростному уравнению переноса в бесконечной плоской геометрии. Единственное предположение, которое было сделано, состоит в том, что Os является функцией косинуса угла рассеяния Q • й', но, как отмечалось в гл. 1, это предположение в большинстве случаев является оправданным.
Хотя для представления угловой зависимости потока нейтронов выше использовались полиномы Лежандра, обычно говорят, что система уравнений
(3.5) получена с помощью метода сферических гармоник. В плоской геометрии, однако, не обязательно раскладывать угловую зависимость потока по сферическим гармоникам; из-за симметрии потока нейтронов относительно оси х разложение можно провести по тем сферическим гармоникам, которые симметричны относительно оси вращения, а именно по полиномам Лежандра (см. Приложение). Более общие случаи, в которых такое разложение невозможно, будут обсуждаться в настоящей главе ниже.
3.1.3. ^-ПРИБЛИЖЕНИЕ
Чтобы решить систему уравнений (3.5), необходимо ограничить число членов разложения. Это можно сделать (см. разд. 2.4.2), полагая d<pN+1 (x)!dx = О и сокращая таким образом число неизвестных до JV 4- 1. Получающаяся система N + I уравнений с M + 1 неизвестными представляет собой Рлгприближение для односкоростной теории переноса нейтронов.
3.1.4. Р|-ПРИБЛИЖЕНИЕ
В гл. 2 было показано, что достаточно точные решения уравнений (3.5) можно получить с небольшими значениями N, если рассматриваемые системы велики, а поглощение нейтронов в них мало. Большинство реакторов, действительно, имеет большие размеры, и для расчета пространственного распределения потока нейтронов, как установлено, вполне приемлемо Р1-приближение (M = I). В этом случае система уравнений (3.5) сводится к двум уравнениям, для которых п = 0 и п = 1. Кроме того, как показано в разд. 2.4.1, значения ф0 (х) пф1(х), которые появляются в этих уравнениях, равны соответственно полному потоку ф (х) и току нейтронов J (х). Таким образом, из уравнения (3.6 а) получаем
і
ф 0(х) = 2л J Ф (х, p)dp = ф (х);
— і і
ф! (х) = 2л J |хФ (х, |.i) dp = J (х).
— і
Два уравнения, к которым сводится система уравнений (3.5), можно, следовательно, записать в виде
- + а о (х) ф (X) = Q0 (х)‘, (3.7)
ах
+ За, (X) J (X) = 3Q1 (х), (3.8)
ах
где согласно уравнению (3.66)
і
Q0(x) = 2л J Q(x, [x)d|x;
— і і
Q1 (x) = 2л J |xQ (x, |x) dp.
— і
102
Если Q (х, |л) представляет собой изотропный источник, то Q1 (х) = 0. Интересно отметить, что в терминологии разд. 2.6.2 O0 — сечение поглощения, а
O1 — транспортное сечение.
Если источник нейтронов изотропен, так что Q1 = 0, то уравнение (3.8) принимает вид закона Фика:
J(x) = — D (х) ,
dx
гдеD = 1/(Зах). Этот результат можно объединить с уравнением (3.7), что приводит к диффузионному уравнению
~~t[D{x)i^r]+aAx) * W=QoM- <3-9)
Методы решения диффузионных уравнений и уравнений Р1-приближения для пространственного распределения потока нейтронов обсуждаются ниже.
В гл. 4 показано, что в многогрупповой теории источник, эквивалентный Q1, в данной группе редко является изотропным. Переход от Р^приближения к диффузионному приближению в этом случае содержит некоторые физические предположения (см. разд. 4.3.2).
3.1.5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И УСЛОВИЯ
НД ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА
Чтобы получить решения уравнений Pfj-приближения или в общем случае уравнений метода сферических гармоник, требуется сформулировать соответствующие граничные условия. Для системы N + 1 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно N 1 скалярных коэффициентов разложения необходимо иметь N -I- 1 условие. Кроме того, система уравнений (3.5) не определена на поверхностях, где сечения оп (х) терпят разрыв, следовательно, для нахождения решений требуются еще и условия на такой поверхности.
