Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Пример 23.6 В однородном магнитном поле с индукцией B = {О, B0, 0} расположен тонкий проводник в виде полуокружности радиуса R, по которому течет ток I в направлении, показанном на рис. 23.9. Определить силу, действующую на проводник.
Решение. Ошибочно здесь было бы непосредственно применять закон Ампера в виде F=IlB0, где l=nR — длина проводника, ибо каждый элемент проводника расположен неодинаковым образом относительно магнитного поля.
Применим метод ДИ. Разделим проводник на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было считать элементом тока. Рассмотрим один такой участок, длина которого равна dl. Модуль вектора dF элементарной силы, действующей на этот участок, по закону Ампера составляет
dF=/d/?„sina. (23.16)
Легко видеть, что все элементарные векторы dF, направлены вдоль оси OZ. Поэтому векторное суммирование сводится к арифметическому. Так как dl=Rda, то после интегри-
157
рования (23.16) по углу а получаем
л
F=J JRB0 sin a da = 2/RB0.
о
Можно рассмотреть множество вариантов решенной задачи: магнитное поле направлено вдоль оси ОХ, вдоль оси OZ, под различными углами к осям и т. д. Все эти задачи могут быть решены одним и тем же методом ДИ.
]о_.
t-J/77
J ®*
щ
23.9 23.10
Пример 23.7 Квадратная рамка из тонкого провода массой т = \0 г может без трения вращаться относительно вертикальной оси 0O1, проходящей через ее центр перпендикулярно двум противоположным сторонам рамки (рис. 23.10). Рамка помещена в однородное магнитное поле с индукцией 5==10-1 Тл, направленной перпендикулярно плоскости чертежа. По рамке идет ток 1=2 А. Определить период малых колебаний рамки около положения ее устойчивого равновесия. Решение. Физическая система состоит из известного магнитного поля (однородного), проводника в виде рамки и направленно движущихся по рамке свободных зарядов (или тока /). Физическое явление заключается в малых колебаниях рамки под действием сил, действующих на каждый ее элемент тока со стороны магнитного поля. Так как индукция поля известна, то можно найти эти силы и их результирующий момент.
При отклонении рамки на малый угол а от положения равновесия возникает момент сил Ампера
М=рт ?sina,
(23.17)
158
где
pm=IS = Icfl (23.18)
— магнитный момент рамки, а — ее сторона.
Применяя к рамке уравнение движения (14.7), получаем
7?=M, (2.? 19)
где J — момент инерции рамки относительно оси OOi, ?=a— угловое ускорение рамки. Момент инерции рамки
/ = 2'Т-Т + 2-тГТ'а2 = іта2- (23-20)
Подставляя в уравнение (23.19) значение момента сил Ампера (23.17) и значение момента инерции рамки (23.20), находим
a + — sin а = 0.
1 т
Учитывая, что для малых колебаний sina«a, получаем дифференциальное уравнение гармонических колебаний рамки:
a+^a = 0. (23.21)
Сравнивая полученное уравнение (23.21) с общим уравнением гармонических колебаний, определяем угловую частоту колебаний рамки:
и период ее колебаний:
T0 = 2л )/^5? , T0 « 0,57 с.
Известно, что при перемещении плоского контура с током / в магнитном поле совершается работа
Л = /АФ, (23.22)
где АФ — изменение магнитного потока через контур. Если перемещается точечный магнитный диполь (плоский контур с током / достаточно малых геометрических размеров), вектор магнитного момента которого
pm=/5n (23.23)
169
параллелен вектору В индукции магнитного поля, то расчет работы в этом случае сводится к расчету магнитного поля:
л=/аф:
/ (o1-o2) = pf (B1-B2) S = рт (B1-B2).
(23.24)
Пример 23.8 В условиях примера 23.3 точечный магнитный диполь с магнитным моментом рт, первоначально находившийся на оси трубки в ее середине (точка At на рис. 23.11), перемещается вдоль оси в точку A2 так, что вектор рт остается параллельным вектору В. Определить работу, совершенную при перемещении диполя.
( ( /Ч .
[
23.11
Решение. Из (23.24) видно, что для решения задачи достаточно рассчитать индукцию магнитного поля B1 в точке л і и индукцию B2 в точке A2. По формуле (23.8) получаем
_/__1_
2
B1 =
V *2+т
в.
M_1
2 jA?2
/2
Следовательно, из (23.24) находим
[X0Pm/ / 1 1
А =
+
/2 у ft* _|_/2
Если в магнитном поле перемещается неточечный магнитный диполь, т. е. обычный плоский контур с током /, то нередко для расчета магнитных потоков используют метод ДИ.
Пример 23.9 Прямой бесконечный ток I1=S А и прямоугольная рамка с током I2=S А расположены в одной плоскости так, что сторона рамки I = I м параллельна прямому току и отстоит от него на расстоянии г=0,1 Ь, где Ъ — длина другой стороны рамки (рис. 23.12). Определить, какую работу необходимо совершить для того,
160
чтобы повернуть рамку на угол а=90° относительно оси 0O1, параллельной прямому току и проходящей через середины противоположных сторон рамки Ь. Решение. Легко видеть, что во втором положении магнитный поток через рамку равен нулю: Ф8=0. Таким образом, необходимо рассчитать магнитный поток Фх через рамку в первом положении. Так как поле прямого бесконечного тока I1 (по (23.4))
B1 - (23.25)
является неоднородным, то решение O1=B1S (где S=Ib — площадь рамки) неверно.
Применим метод ДИ. Разделим площадь рамки на столь узкие полосы, чтобы в пределах каждой такой полосы магнитное поле можно было бы приближенно считать однородным. Рассмотрим одну такую полоску шириной dx (рис. 23.12), находящуюся на расстоянии х от прямого тока I1. Элементарный магнитный поток через эту полоску
