Решение задач по физике. Общие методы - Беликов Б.С.
Скачать (прямая ссылка):
Разделим площадь рамки на столь узкие полоски (рис. 25.1), чтобы в пределах каждой полоски магнитное поле можно было считать однородным. Элементарный магнитный поток сквозь узкую полоску
Интегрируя это уравнение по х в пределах от г0 до r0-fo, находим
г„+в
25.1
ф— С p0iadx _у0а« In (1 + а/г0)
По закону Фарадея (25.1) определяем э.д.с. индукции: ? — Зц0а« In (l-f а/гр)
и силу токаз
/ = ^ = 3^«1пД+а/го) ^ /A2f4.,0-.A<
Можно было бы, конечно, сформулировать и решить обобщенную задачу третьего «блока».
Рассмотрим конкретную задачу четвертого «блока».
Пример 25.3 Рамка (см. пример 25.2) удаляется от бесконечного проводника со скоростью V=IOO м/с в на-
168
правлении, перпендикулярном проводнику. По проводнику течет постоянный ток 7=10 А. Определить э.д.с. индукции в рамке через t=10 сот начала движения, если в начальный момент времени рамка находилась на расстоянии г0=20 см от проводника. Решение. Сила тока в проводнике постоянна, и магнитное поле, созданное этим током, тоже не изменяется во времени. Однако магнитный поток через рамку не постоянен вследствие того, что положение рамки относительно магнитного поля изменяется. Найдем магнитный поток через рамку как функцию времени t. Применяя метод ДИ, получаем
где x=vt+г0 — расстояние рамки от проводника в момент времени /. Дифференцируя уравнение (25.9) по времени /, по закону Фарадея находим выражение для э.д.с. индукции в рамке:
а _^0/аар_
ФИ 2Я (u~\-Ut -f- tq) \pt -j- tq)
Производя вычисления (полезно заметить, что vt^>r0t vt$>a при />10-1 с и величинами г0 и а в скобках можно пренебречь), получим
Числовое значение э.д.с. ничтожно, ибо рамка движется с большой скоростью и через время /=10 с, во-первых, будет находиться от проводника на расстоянии JC=I км, где магнитное поле мало и где, во-вторых, изменение магнитного потока через рамку также мало. Изменим несколько условия примера 25.3.
Пример 25.4 Пусть в условиях примера 25.3 от бесконечного проводника удаляется со скоростью v не вся рамка, а лишь ее боковая сторона длиной а (рис. 25.2). Сопротивление рамки известно. Сопротивление подводящих проводов и подвижной стороны а равно нулю. Определить силу тока в контуре в произвольный момент времени t.
Решение. Обозначим h силу тока в бесконечном проводнике. По условию она постоянна. Изменение магнитного потока через контур обусловлено движением перемычки а. Применяя метод ДИ, находим магнитный поток Ф че-
(25.9)
^=8-10-13 В.
169
рез контур:
Pt
Го
(25.10)
и далее э.д.с. индукции и силу токаї j? = W ia • г — Wia
е ¦ 2nt * 1 ~ 2яШ '
Можно усложнить только что решенную задачу, предположив, например, что сила тока в проводнике изменяется
•1
і
25.2
со временем по какому-либо закону ii=f(t). Тогда по (25.10)
и, следовательно,
/ = Vow? (Q In (1 A + N40^O. 2nR \r0 J
2nRt '
Пример 25.5 По двум гладким медным шинам, установленным под углом а к горизонту, скользит под действием силы тяжести медная перемычка массой т (рис. 25.3). Сверху шины замкнуты на конденсатор емкости С. Расстояние между шинами I. Система находится в однородном магнитном поле с индукцией В, перпендикулярном плоскости, в которой перемещается перемычка. Сопротивление шин, перемычки и скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Найти ускорение перемычки.
170
Решение. Как и в предыдущей задаче, изменение магнитного потока через контур обусловлено движением перемычки. По закону Ома для неоднородного участка э.д.с. индукции ^и в любой момент времени равна разности потенциалов Дф на обкладках конденсатора:
$и=Дф.
Но Дф=Q/C. Следовательно, сила индукционного тока в контуре
' d7-b~~dr~-u At • Так как магнитное поле однородно, то
где S — площадь контура. Таким образом, / = CBl ^ = CBIa1
где а — искомое ускорение перемычки.
На перемычку действуют две силы: сила тяжести mg и сила Ампера 1IB=CB2Pa. По второму закону Ньютона,
ma=mgsma—СВ212а. Отсюда
mg sin а
а-
т + СВЧ2'
Если на перемычку действует сила трения, то легко показать, что
_mg sin а— fmg cos а
а~ m+C?2/2
где / — коэффициент трения.
Если внешнее магнитное поле отсутствует, но сила тока / в контуре изменяется с течением времени t, то собственный магнитный поток
ф=Ы (25.11)
через контур изменяется и возникает э. д. с. самоиндукции
171
Э. д. с. самоиндукции создает ток самоиндукции. При размыкании или замыкании электрической цепи возникают экстраток размыкания
/ = /0е-<к/*<>< (25.13)
или экстраток замыкания
/«W0(I- e-<s/L>0, (25.14)
где i0=soir — установившееся значение тока в цепи, s0 — д. с. источника.
Пример 25.6 Соленоид с индуктивностью L = IO"1 Гн и сопротивлением #=2-10-3 Ом замыкается на источник э. д. с. $0=2 В, внутреннее сопротивление которой ничтожно мало. Какое количество электричества пройдет через соленоид за первые 5 с после замыкания? Решение. При ^замыкании соленоида на э. д. с. <?0 возникает переменный экстраток замыкания (25.14). Поэтому для расчета количества электричества, которое пройдет через соленоид, применим метод ДИ.
