Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
а) Рассмотрим сначала область гиперболичности. Дифференциальные
уравнения характеристик имеют вид
d-?=-Ty. ?-Гу.
ах ах
а X - 2 Ту = с, х + 2Ту = с - их общие интегралы.
Производя замену независимых переменных Ъ, = х - 2-Jy, г| = х + 2 д/у,
получим каноническую форму преобразованного уравнения
2(4 - л)
24 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
б) В области эллиптичности (у < 0) производим замену переменных
Канонический вид уравнения
w'' + w'' -!-w. =о
гг хх у у ^ I у
2л]~ у
Пример 2. хихх - 2*Jxyuxy + уиуу + 0,5 иу = 0.
Здесь ап - х, а12=-т/ху, а22 = у, А = 0. Следовательно, это уравнение
всюду параболического типа. Оно имеет одно семейство характеристик,
описываемых уравнением
^(z
d х \ х
Общий интеграл этого уравнения л/х + Jy = С. Поэтому полагаем 4 = Vx +
л/у , г| можно положить равной любой функции \|/(х, у), независимой от
Полагаем, например, г| = л/х. Тогда получаем следующий канонический вид
уравнения
и
Задачи
1. Привести к каноническому виду уравнения:
а) х2ихх ~у2иуу =0,
б) У211 хх +х2иуу =0,
в) х2ихх +2хуиху +у2иуу =0,
г) Х2ихх - У2иуу = 0 ¦
I. Введение 25
2. Введя функцию о-ме"+даи выбирая параметры А, и д, упростить
следующие уравнения:
а) ихх + иуу + 3 их - 5у + 4 и = 0,
б) ихх +4их - иу + и ~0,
в) ихх - Uyy +4их +4иу -2и~0.
Лекция 3. Классификация уравнений второго порядка со многими независимыми
переменными в точке. Характеристические поверхности
Прежде чем формулировать математические постановки решения различных
физических задач, сводящихся к линейным дифференциальным второго порядка
относительно старших производных, необходимо классифицировать эти
уравнения.
В случае уравнений с двумя независимыми переменными этот вопрос
исследован на предыдущей лекции. В этой лекции рассматриваются уравнения
вида
X X aij (х) я 8 " + ф(а'. и, V и) = 0 (1)
/=1,-1 ' dXjdxj с непрерывными коэффициентами а у (х), х =
(х1,х2,...,хп).
§1. Классификация уравнений в точке
Выясним, как преобразуется уравнение (1) при произвольной невырожденной
замене независимых переменных ?, - ^(х), т.е.
$i =Ъ(х1,х2,...,х"), / = 1,2,...,и;
26 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
S4i Э4, 54!
D =
д хх дх2
54г 5^2 дх] дх2
54" 5^я
дх"
542
дхп
54"
Ф 0.
(2)
дхх дх2 дхп
Так как Пф 0, то в некоторой окрестности можно выразить переменные х
через с, х = х(с). Обозначим г/(л(с))= о(с); тогда и(с(х)) = и(х). Считая
е С2, имеем
ди _ " Эи 54^ д2и 52и 54^ 5^, |
5х; г-104/t дх/ dxjdxj t=u=idZ,kdZ,s 5х; 5ху
+ X-¦ 5 ^ ^0 *=i94* dxjdxj
Подставляя выражения для производных (з) в уравнение (l), получим
(3)
ЕЕ
4=l.s=l
п " dtu дЕ
ЕЕ"/; ^
02О
54^54, 4=1
n n 524t
ЕЕ",т-^
/=17-=1 dxjdxj
5о
544
(4)
/-i y=i ' 5х; 5ху + Ф*(^, u,Vu) = 0.
Здесь Ф (^,о, Vu)= ф(х,и, Vm). Обозначая теперь через aks новые коэффи-
циенты при вторых производных
94*9^
ь =ЕЕ""
нн 4 3xj dxj
(5)
и полагая
ф(^,о,Уо)=Х
?=1
у у 524t
м |"' dxjdxj
ди
54а
+ Ф*(4,о,Уо),
перепишем уравнение (4) в виде (l):
vv~ 52u 4=u=i 5^5^,
+ ф(4,о,Уо)=0.
(6)
I. Введение 27
дЬ (х )
Далее фиксируем точку х0 и положим ?, = ^(х0 ), aki ~-к' . Тогда фор-
9х;
мула (5) в точке х0 запишем в виде
"ь(^о)= Z 'Lai,ixo)akiasj ¦ (7)
i=ij=i
Полеченная формула преобразования коэффициентов a j в точке х0 совпадает
с формулой преобразования коэффициентов квадратичной формы
'Z'Zaij(xo)PiPJ (8)
i=1 ./='
при невырожденном линейном преобразовании
Pi = f.aki4k^ det(afe.)^0, (9)
к= 1
переводящим форму (8) в форму
'L'LaksfeohkVs- (10)
Ня1
Итак, чтобы упростить уравнение (1) в точке х0 с помощью замены
переменных (2), достаточно упростить в этой точке квадратичную форму (8)
с помощью невырожденного линейного преобразования (9). Но в курсе
линейной алгебры доказывается, что всегда существует преобразование (9),
при котором квадратичная форма (10) принимает следующий каноничный вид:
п т
Ёя* - Ъчк> т^п\ (п)
к-1 k~r+1
кроме того, в силу закона инерции квадратичных форм, целые числа гит не
зависят от преобразования (9). Это позволяет классифицировать уравнения
(1), а именно:
1) если в форме (11) т = п и все слагаемые одного знака (т.е.
либо
г = т, либо г = 0), то уравнение (1) называется уравнением
эллип-
тического типа;
28 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
2) если т = п, но имеются слагаемые разных знаков (т.е. 1 < г < п -1), то
уравнение (1) - гиперболического типа (при r = 1 или г = п - 1 -
нормально-гиперболического типа).
3) если тог, то это уравнение (1) - параболического типа (при г = п - 1 -
нормально-параболического типа).
Пусть коэффициенты atj в уравнении (1) постоянны, т.е. не зависят от
х, и пусть преобразование (9) приводит квадратичную форму (8) к
каноническому виду (11). Тогда линейная замена независимых переменных
/7
- ^h^ik^k к=\
преобразует уравнение (1) к следующему каноническому виду п д2и т д2\)
~/ \
Z ^ + (r)feo,VoM. (12)
к=\д^к к=г+\д^к
Примеры. Уравнение Лапласа - эллиптического типа, волновое уравнение -
