Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
бз = \\\cp^dxAt.
С другой стороны, 0з = Q] + Q2 и поэтому
ди
JJJ
div(& gcadu)+F-c р-
dxAt=0,
v
откуда, в силу произвольности объема V, получаем уравнение
распространения тепла
Л
cp-^- = d\v(k gradu)+F(x,t). (10)
Если среда однородна, т.е. с, р и к - постоянные, то уравнение (10)
принимает вид
~ а1 Аи + /, (11)
dt
2 к , F где а =-, / = -. с р с р
Уравнение (11) называется уравнением теплопроводности.
§3. Стационарное уравнение
Для стационарных процессов F(x,t)= F(x), u(x,t)=u(x) и уравнения
колебаний (1) и диффузии (9) принимают вид
-div(/> gradu)+qu = F(x). (12)
16 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики При р=const,
<7 = 0 уравнение (12) называется уравнением Пуассона
Ли = -/, (13)
Р
при / = 0 уравнение (13) называется уравнением Лапласа
Дм = 0.
Рассмотрим потенциальное течение жидкости без источников, а именно, пусть
внутри некоторого объема V с границей S имеет место стационарное течение
несжимаемой жидкости (плотность р = const), характеризуемое
скоростью б(х1, х2, х3). Если течение жидкости не вихревое (rotu = 0), то
скорость С является потенциальным вектором, т.е.
6 = gradw, (14)
где и - скалярная функция, называемая потенциалом скорости. Если
отсутствуют источники, то
div 6 = 0. (15)
Теперь из формул (14) и 05) получим:
div grad и = 0
или
А и =0,
т.е. потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа.
Задачи
1. Абсолютно гибкая однородная нить закреплена на одном из концов и
под действием своего веса находится в вертикальном положении равновесия.
Вывести уравнение малых колебаний нити.
п д2и 2 д
Ответ: = а -
3/! д>
V 'дх
2
а
= g, где и{х, t) - смещение точки,
I - длина нити, g - ускорение силы тяжести.
I. Введение 17
2. Вывести уравнение поперечных колебаний струны в среде, сопротивление
которой пропорционально первой степени скорости.
^ д2и 2 д2и ,2 ди 2 fib
Ответ:-- = а ---h -, а = I-.
dt2 дх2 dt V Р
3. Тяжелая однородная нить длины / прикреплена верхним концом (х = 0) к
вертикальной оси, вращается вокруг этой оси с постоянной угловой
скоростью ю. Вывести уравнение малых колебаний нити около своего
вертикального положения равновесия.
д2и 2 д Ответ: -- - а -
dt дх
V Jdx
+ со2и, а2 - g.
4. Вывести уравнение диффузии в среде, движущейся со скоростью и(х) в
направлении оси х, если поверхностями равной концентрации в каждый момент
времени являются плоскости, перпендикулярные оси х.
^ ди д
Ответ: с - = - dt дх
г ди\ д
дх j дх
5. Вывести уравнение диффузии в неподвижной среде для вещества,
частицы которого: а) распадаются со скоростью, пропорциональной
концентрации; б) размножаются со скоростью, пропорциональной их
концентрации.
n .dll д ди Ответ: а) с- = - D -
dt дх{ дх
Л ди 8 ( ди',
-Рм;б) с- = - D- +Рм.
dt ох\ ох,
6. Исходя из Максвелла в вакууме:
- 1 дН - - 1 дЕ
rot Е =-----, div?=0, div Н =0, rot Н =---------,
с дt с dt
где Н - напряженность магнитного поля, Е - напряженность электрического
поля. Вывести уравнение для потенциала электрического поля постоянного
электрического тока, вывести уравнение для потенциала.
18 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Лекция 2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка с
двумя независимыми переменными
Нашей целью является приведение к каноническому виду в области уравнения
с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными
линейного относительно старших производных
апихх +2 а12иху +а21иу), + F{x,y,u,ux,uy)= О, (1)
где коэффициенты аи,а 12, а22 являются функциями х и у.
§1. Замена независимых переменных
Перейдем от независимых переменных х и у к независимым переменным ?, и
г|. Пусть
?, = ф>у), Л = Л (х,у) (2)
- дважды непрерывно дифференцируемые функции, причем якобиан
д? д$
Р_ дх ду 5г| дг\
дх ду
нигде в рассматриваемой области не обращается в нуль. Тогда систему (2)
можно однозначно разрешить относительно х и у в некоторой области точек
(^, г|). Полученные функции х = х(^,г\) и у = у(^,г|) будут также дважды
непрерывно дифференцируемыми функциями от ^ и ц. С помощью преобразования
(2) мы получаем новое уравнение, эквивалентное исходному (1). Естественно
возникает задача: как выбрать ?, и г|, чтобы уравнение в этих переменных
имело наиболее простую форму? Для решения этой задачи преобразуем
производные к новым переменным. Полагая
и(т(^,цЫ^л))=и(^г|),
I. Введение 19
получаем
их='°?х +ицг\х' Чу =U^y +Ur,TK'
мхх =U^x + 2и^?,хГ)х + и^Г)1 + и?хх + ицГ)хх,
uxy='°i?&y +U^(^rl>' +^TlJ+UiinrI^T +У)?ху+и^ху, (3)
Чуу = "%& +2м^уцу +олпл" +и?>у +оллл,.
В новых переменных <; и г\ уравнение (1), согласно формулам (3),
записывается так:
а, ,ий + 2auv^ + а22ицц + F^.ri.u.D^D J=0, (4)
где
аП = "11^х +2ai2 %х%у + "22 %у'
"12 ~ "11 ^хЛх +"12^хЛу +Лх^)+"22^Л7,
"22 = "11Л х +2"12ЛхЛ>- + "22Л*>
F = F + аи{и?хх +ицг\хх)+ аи(и?ху + ицг]ху)+а22(и^уу + иг]г\}у).
Выберем переменные ?, и ц так, чтобы коэффициент аи был равен нулю.
Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка
