Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
окрестности точки (х0,tQ) и притом единственное в классе аналитических
функций.
Для доказательства этой теоремы решение ищется в виде
ga0+"lH hai;
-------------------Uj(x0,t0)
со оо 00 dta°dxa[ дха" I \а
Ui(x,t)= D D-D ---------------1 "---------- (t-t0T°{xi -X, )
1 (10)
a.o-Ocq-1 ctj,=1 Ct q . CX |. ... (Xn .
Из начальных условий (9) и из уравнений (8) последовательно определя-
да0+а,н ьа"
ются все производные ---------------------м,- в точке (х0Э0).
Равномерная
dta°dx\l[ ...<Эх""
сходимость рядов (10) в окрестности точки (х0До) доказывается методом
мажорант. Единственность построенного решения в классе аналитических
функций следует из теоремы единственности для аналитических функций.
В заключение приведем пример, показывающий, что может вовсе не быть
непрерывной зависимости решения от начальных данных. Этот пример построен
Адамаром.
Решение задачи Коши:
1
д2и д2и dt2+ дх2
= 0,
=0 -
,=0 ' dt
n=-sin kx 0 k
t ч sh kt . , , 1-,
есть uk\x,t)=-joj- sin kx. Если к-" °°, to ^7sm kx->0; тем не менее при
х ф j я, j = 0,±1,... uk (х, t) не стремится к нулю при к -> оо . Таким
образом, задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно.
38 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Задачи
1. Поставить краевую задачу о малых поперечных колебаниях струны в среде
с сопротивлением, пропорциональным скорости, предполагая, что концы
струны закреплены жестко.
Ответ: ^ = "(х,0)=ф(х), =
5г дх2 dt dt
m(0,i)=0, u(l,t)~ 0.
2. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях тяжелой струны
относительно вертикального положения равновесия, если ее верхний конец (х
= О) жестко закреплен, а нижний свободен.
^ 15м du
Ответ:------- = -
g dt dx
dx
; u(x, О) = ф(х), d ц(х'в) _ ;
dt
u(0,t)=0, \u{l,t\<M.
3. Рассмотреть задачу 2 в предположении, что струна вращается с
угловой скоростью со = const относительно вертикального положения
равновесия.
^ д2и du Ответ: -- = я - 5? дх
/. \ 5 U 1
[1-х)- + со и, дополнительные условия задачи 2.
dx
4. На боковой поверхности тонкого стержня происходит конвективный
теплообмен по закону Ньютона со средой, температура которой иср =ср(?).
Поставить краевую задачу об определении температуры стержня, если на
одном конце его поддерживается температура f\{t), а на другой подается
тепловой поток q{t).
Q и Q ^ ы
Ответ: ср- = к-- - щи - ф(/)1, и(х,0)= f(x),
dt дх2
m(0,i)=/|(^), kux(l,t)~ q(t).
I. Введение
39
5. Поставить краевую задачу о нагревании полубесконечного стержня,
конец которого горит, причем фронт горения распространяется со скоростью
v и
6. Поставить краевую задачу об остывании тонкого круглого кольца, на
поверхности которого происходит конвективный теплообмен по закону Ньютона
со средой, имеющей температуру и0. Неравномерностью распределения
температуры по толщине пренебречь.
7. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры в
тонкой прямоугольной пластинке О АС В со сторонами ОА = а, О В = Ь, если:
а) на боковых сторонах пластины поддерживаются заданные температуры;
б) на сторонах ОА и ОВ заданы тепловые потоки, а стороны ВС и АС
теплоизолированы.
8. На плоскую мембрану, ограниченную кривой L, действует стационарная
поперечная нагрузка с плотностью f(x,y\ Поставить краевую задачу об
отклонении точек мембраны от плоскости, если:
а) мембрана закреплена на краю;
б) край мембраны свободен;
в) край мембраны закреплен упруго.
9. Поставить краевую задачу о стационарном распределении температуры
внутренних точек полусферы, если сферическая поверхность поддерживается
при заданной температуре /(<р,б), а основание полусферы - при нулевой
температуре.
имеет температуру ф(г).
^ ди ди ди
Ответ: ср- = - к- , dt дх дх
м(х,0)=0, u{yt,i)= ф(?)-
2
0 - полярный угол, а =-------, R - радиуса кольца.
cpR2
II. Гиперболические уравнения
Лекция 5. Уравнение колебаний струны и его решение методом Даламбера
§1. Формула Даламбера
Изучение методов построения решений краевых задач для уравнений
гиперболического типа мы начинаем с задачи Коши для уравнения свободных
колебаний струны:
Преобразуем уравнение (1) к каноническому виду, содержащему смешанную
производную. Уравнение характеристик
распадается на два уравнения
(1)
;/(л\0) = ф(х),
д t
(2)
ы - \j,
dt dt
интегралами которых являются
x - at -Ci, х + at - С2-
II. Гиперболические уравнения
Теперь, полагая
Ъ1 = х + at, т\ = х- at, уравнение (1) преобразуется к виду
41
д2и
8^дц
= 0.
(3)
Общее решение уравнения (3) дается формулой
w = /ife)+/2(rlX
гДе /i0=) и /гОз)- произвольные функции. Возвращаясь к переменным х, t,
получаем:
и = fi(x + at)+ f2(x - at). (4)
Полученное решение зависит от двух произвольных функций j\ и /2. Оно
называется решением Даламбера.
Далее подставляя формулу (4) в (2), будем иметь
f\{x)+f2{x)=i^x), (5)
afi(x)-af2(x)=\if(x), (6)
откуда, интегрируя второе равенство (6), получим
(7)
' х0
где х0иС - постоянные. Из формул (5) и (7) находим
ЛМ=2
При этом, учитывая (4), имеем
