Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
и, следовательно, Х(х) = 0.
11. Гиперболические уравнения 51
2. При X = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в
этом случае общее решение уравнения (7) имеет вид
Х(х) = С|Х + с2.
Граничные условия (9) дают
с2 =0, сх1 - 0, т.е. Cj = 0,и с2 =0 и, следовательно, х(х)=0.
3. При X > 0 общее решение уравнения (7) может быть записано в виде
X(x)=Cjcosyfx x+c2sinyfx х.
Граничные условия дают:
Cj=0, c2sinyfx 1=0.
Если Х(х) на равно тождественно нулю, то с2 ^ 0 > поэтому
sin 'Jx 1=0
или
V^,
где и-любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (7),
(9) возможны лишь при значениях
а именно, существуют ненулевые решения
v ( \ ¦ ПК
X"(x) = smyx.
Этим же значениям Хп соответствуют решения уравнения (8)
Т, t \ . ПП ъ ¦ ПП
T"\t)Апcos -я ?+Виsin -аt,
где Аи и В" -произвольные постоянные.
Возвращаясь к задаче (1) - (3), заключаем, что функции
52 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики являются
частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям
(2).
Обратимся к решению задачи (1) - (3). В силу линейности и однородности
уравнения (1) сумма частных решений
/ \ ^ \ а п 71 а . п к а \ . пк
и(х,?} = УмДх,1)=2Д Ancos /+BMsm 1 sin x (10)
n-\ n=\ V I I J I
также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (2). Далее
потребуем, чтобы функция (10) удовлетворяла начальным условиям (3):
и(х,0) = ф(х) = X Ай sin -х,
я ( п\ "=l 1
ощх,0) , ч (r) нпап . пп
-* - = ф(х)=У--------В sin - х.
dt n ' ti i n i
Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и
кусочно-дифференцируемая функция /(х), заданная в промежутке 0 < х < /,
разлагается в ряд Фурье
f{x)=tb" sin^x, где 6и=у|/(фт^ dt,. (12)
п=1 / I 0 /
Если функции ф(х) и и(х) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье,
то, учитывая (12), из (11) находим, что
A"=yI<P U)sin^^, B"=-?-jV(S)sin (13)
/о / ппао /
Используя сведения из гармонического анализа, нетрудно доказать следующее
предложение:
Теорема. Пусть ф(х)е С2([0,/]), \|/(х)е С'1 ([О,/]), кроме этого, ф(х)
имеет третью, а \|/(х)-вторую кусочно-непрерывную производную и выполнены
соотношения ф(о) = ф(/) = 0, ф"(()) = ф"(/) = 0, \|/(о) = "/(/) = 0.
Тогда сумма ряда (10) с коэффициентами, определенными формулами (13),
является решением задачи (1) - (3).
II. Гиперболические уравнения §2. Неоднородное уравнение. Общая первая
краевая задача
53
Рассмотрим неоднородное уравнение колебаний
~~-~ - о2 д 11 + f(x,t), 0 <х<1, t> 0 (14)
дг дх2
с начальными условиями
м(х,0)=ср(х), ды(-ув) _ 0 <х</, (15)
dt
и однородными граничными условиями
w(0,?) = 0, u(l,i)= 0. (16)
Будем искать решение задачи в виде разложения в ряд Фурье п0х
u(x,t)=f,un(t)sm-x , (17)
п-\ I
рассматривая при этом t как параметр. Представим функцию f[x,t) в виде
ряда Фурье:
?)sin"^x, /"(f)=yJ/(^/)sin^x. (18)
п=1 / / о *
Подставляя ряды (17)и(18)в исходное уравнение (14)
видим, что оно будет удовлетворено, если все коэффициенты разложения
равны
Для определения un(t) мы получили обыкновенное дифференциальное уравнение
с постоянными коэффициентами. Далее начальные условия (15) дают:
cp(x)=f>"( 0)sin^x, \|/(x)XM^(o)sin-ух
п=1 / п=1 /
54 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики и,
следовательно,
,Д°)ЛМфт^, м'(0) = у{ф(фт?у1^,
Ф "=м"(0)' ?"=<( 0).
Условия (20) полностью определяют решение уравнения (19), а именно
/ \ ппа I . ппа I \ ¦ ппа, , ч
иАЧ=Упс°ъ-г1+ Vnsv'-rt+-------------J/"(x)sin --(/-т) dx (21)
/ ппа I nnao I
Таким образом, искомое решение задачи (14)-(16) согласно формулам (17),
(21) запишется в виде
ппа
, \ * ппа I . пп I
u[x,t) = Е)фй cos _ /+ \|/"sin -
4 ' n=i [ / ппа I
I \г( \ ¦ ппа, ч 1 . пп
+ J/Jxlsm (t-x Ififxvsm - х,
ппао / J I
-? +
где величины ф",\|/" и /и(х) вычисляются посредством (18) и (20).
И в заключение мы покажем, как общую первую краевую задачу для уравнения
колебаний:
д2и о д2и
-г- = а2 - + fix,Л 0 <х<1, t> 0, (22)
dt д х~
и{х,0) = ф(х), ^ ^ = v/(.v). 0<х<1, (23)
dt
м(0, t)~ р, (?), u{l,t)-\i2{t) (24)
привести к краевой задаче с однородными граничными условиями (14)-(16).
Для этого построим функцию V{x,t) для которой выполняются граничные
условия (24). Например, возьмем функцию, линейную относительно переменной
х
v(x, t) = A[t)x + B(l).
Условия (24) дают
к(о,0=ш(0=в(0>
v{i,t) = ц2(г)=а(?)/ + в(г).
11. Гиперболические уравнения 5 5
Следовательно
V(x,t) = р | (Д + у [ц 2 (0 - Д1 (0] ¦¦
Теперь введем новую неизвестную функцию и(х,Д, полагая
u(x,t)=v{x,t)+\j(x,t). (25)
Далее подставляя функцию (25) в (22) - (24), получаем краевую задачу для
определения о(х,?):
-- = а2 ^ ^ +F(x,t), 0<х</, t> О,
dt2 дх2
о(х,0) = Ф(х), ^ ц(х>0) _ о < х < /,
dt
о(0, t) = 0, о(/, ?) = 0.
Здесь
ф(х) = ф(х) - И! (о) - у [д2 (о) - Pj (о)], чДх) = ф(х) - ц[ (о) - у \ц'2
(о) - ц'2 (о)],
Нх> 0=Лх' 0 - и i' (0 - у [в 2 (0 - и I (0] •
Задачи
1. Решить следующие смешанные задачи:
а) 0<х</; м|х=0 =0, 4w=/; "Ц = г4=о = 0;
б) ы, =ы , 0<х<1; м =? + 1, м =Д+2; и\ =х + 1,
