Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
(20):
w(x+at) + w(x-at) 1 , .
-------------------- -л-------------J щу)ау, для at<x,
2 ах-
. Xs] q{x+at)-q(at-x) 1 x+f , ч , ш t- Н- ------------------------ -Н-
-----------------J щу)а у, для at>x.
a J 2 2 a ot-x
Аналогично может быть построено решение задачи (17), (19), (20). Отметим,
что для этого начальные данные надо продолжить четным образом.
2. Задача для ограниченного отрезка. Здесь мы на примере следующей
задачи:
д2и , д2и
-а~
при 0<х<1, t>0, (30)
дг дх2
и(х, 0)=ф(х), ^Х> ^ = т/(.г), 0 <х<1, (31)
dt
u(0,t)= 0, u(l,t) = 0, / > 0 (32)
П. Гиперболические уравнения 47
покажем, как строить методом продолжения решения краевых задач для
уравнения колебаний.
Будем искать решение задачи в виде
/ ч ф(х + at) + Ф(х - at) 1 х+?'< \ , ....
u(x,t) = -i - \4(y)dy, (33)
2 2" х-а,
где функции Ф иТ, подлежащие определению. Начальные условия (31)
определяют Ф и Ч* на интервале (0,/):
ф(х)_ ср(х), 'F (х) - \|/(х).
Чтобы удовлетворить нулевым граничным условиям, наложим на функции Ф(х) и
Ч'(х) требования нечетности относительно точек х = 0 и х = /:
Ф(х)=-ф(- 4 ф(4=-ф(21 - х),
^(х) = х), ^(х) = -4(21 - х),
т.е. Ф и У являются периодическими функциями с периодом 21. Нетрудно
видеть, что условия нечетности относительно начала координат и условия
периодичности определяют Ф(х) и Ч'(х) на всей прямой. Подставляя их в
формулу (33), получаем решение задачи (30) - (32).
Задачи
1. Бесконечная струна возбуждена начальным отклонением, отличным от нуля
лишь на интервале (с,2с), имеющим форму ломаной с вершинами в точках
3
с, -с, 2с. Построить (начертить) профиль струны для моментов времени
tk=-k, к = 1,2,3.
2 а
2. Бесконечной струне сообщена только на отрезке -с<х<с поперечная
начальная скорость v0 = const. Решить задачу о колебании этой
48 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики струны.
Построить профиль струны для моментов времени
tk=-k, к = 1,2,3.
2 а
3. Решить задачи:
а) ип=ихх +6; м|,=()=х2, и,|,=()=4х;
б) ut=uxx+ex; м|/=0=sinзс, ut|f=0=x+cosx;
в) utt =9 +sin *5 и\t=о =1> мг | м)=1 •
4. Полубесконечная струна с жестко закрепленным концом возбуждена
начальным отклонением, отличным от нуля лишь на отрезке (с,3с), имеющем
форму ломаной с вершинами в точках с, 2с, Зс. Начертить профиль струны
Q
для моментов времени tk = -к, к = 2,4,6.
2 а
5. Какие линейные уравнения с постоянными коэффициентами вида
апихх + 2 al2uxt + "22% + Vv + ^2 ut + см = О
имеют решения:
а) в виде произвольных бегущих волн f{x - at), где a=const;
б) в виде произвольных бегущих волн с затуханием е~а> f(x - at).
Лекция 6. Метод разделения переменных на примере уравнения колебаний
струны
Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из наиболее
распространенных методов решения уравнений с частными производными.
Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны,
закрепленной на концах.
II. Гиперболические уравнения §1. Уравнение свободных колебаний струны
49
И так, рассматривается следующая задача: найти функцию u(x,t) такую, что
д2и 2 92и п
-= а --г, 0 <х<1, t> 0, (1)
dt2 дх2
u(0,t)~0, u(l,t)~ 0, t> 0, (2)
и(х, 0) = cp(x), = у(х). (3)
dt
Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также
является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных
решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми
коэффициентами найти искомое решение.
Поставим основную вспомогательную задачу:
Найти решение уравнения (1), удовлетворяющее однороднограничньтм условиям
(2) и представимое в виде
u(x,t) = x{xfr(t). (4)
Подставим предлагаемую форму решения (4) в уравнение (1), получим:
Т"Х = а2ТХ"
или, после деления на ТХ,
- = а2-. (5)
Т X
Правая часть равенства (5) является функцией только переменного х, а
левая - только t, поэтому правая и левая части равенства (5) при
изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение. Это значение
удобно обозначить через - Ха2, т.е.
50 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Из
соотношения (6) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для
определения функций А(х) и T{t)
X"{x)+XX{x)=Q, (7)
T"(t)+a2XT(t)=0. (8)
Граничные условия (2) дают:
и(0, t) - X(Q)r(t) = 0, и(/, t) = X{l)r(t) = 0.
Отсюда следует, что функция Х(х) должна удовлетворять дополнительным
условиям
^"(о) - x(f) = о. (9)
Таким образом, мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:
Найти те значения параметра X, при которых существуют нетривиальные
решения задачи (7), (9).
Формулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма-
Лиувилля.
Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр X отрицателен, равен нулю или
положителен.
1. При X < 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно
общее решение уравнения (7) имеет вид
X(x)=cie^x +с2е-^х.
Граничные условия (9) дают
Ci + Со - 0, Ciea+c2e~a0, a = /¦>/-X,
т. е.
с}=-с2 и ct {еа - е~а ]= 0.
Далее так как a > 0, то е" - е~а Ф 0, поэтому
с] = 0, с2 = 0
