Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
' tt хх' 1х=0 ' l.v=l 1с=0 '
M*Lo=0-
2. Решить следующие смешанные задачи:
а) м, = м -4м, 0<х<1; м =м =0; и\ =х2-х,
' " хх ' ' 1х=0 1х=1 ' 1(=0
uLo=°;
б)и"+2ы=ы -и, 0<jc<7г: щ =ы\ =0; и\ = лх-л\,
' tt t XX ' ' \х=0 \х=п ' \г=() 2"
56 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
в) и,=и +и, 0<х<2; и\ =2/; и\ =0: и\ =и\ =0.
' " -" ' ' l.r-0 ' I.T-2 ' 1г=0 1г-0
3. Решить следующие смешанные задачи:
7Т
a) u.,-urr +2и = 4х + 8/( cosx, 0<х<-; и А =21,
' it хх I ~ 2 |-^=о
и| m|;(|=cosx, н,| =2х;
Л~2
б Л и,-и -2и =4ffsin-xV 0<х< -; и\ =3, и\ n=t2+t,
tt хх t \ р 2 XU=0 2
4=0=3; и, | =х + sin х.
4. Решить задачу о продольных колебаниях однородного стержня при
произвольных начальных данных в каждом из следующих случаев:
а) один конец стержня (х = 0) жестко закреплен, а другой конец (х = /)
свободен;
б) оба конца стержня свободны;
в) один конец стержня (х = 0) закреплен упруго, а другой конец (х = /)
свободен.
Лекция 7. Метод Римана
§ 1. Задача Коши и ее решение по методу Римана
Рассмотрим уравнение
Ци) = + а (х, у)^- + Ъ (х, у)^- + с (х, у)и = / (х, у)
(1)
охоу ах ду
К такому виду, как мы видели, приводится любое линейное гиперболическое
уравнение с двумя независимыми переменными.
Пусть на плоскости х, у задана кривая АВ, которая пересекается не более
чем в одной точке с прямыми, параллельными осям координат и на ней заданы
две функции ср и \у.
II. Гиперболические уравнения 57
Задача Коши состоит в следующем: требуется найти решение уравнения (1),
удовлетворяющее на кривой АВ условиям
ди\ пл
>="• (2)
где п означает дифференцирование по нормали к кривой АВ.
Наряду с уравнением в(и)~ 0 рассмотрим сопряженное уравнение, которое
определяется следующим образом:
*/ ч 02и 8(аи) d(bu)
L (о) =--------^-------2-'+си = 0 (3)
охоу ох оу
Нетрудно непосредственным дифференцированием проверить следующее
тождество
т( \ */¦ \ 1 д f ди ди ''l
оЦи)-uL (r>J = о-----------------и --у2аии +
2 5x1 д у д у
(4)
1 5 ( ди So )
и-------------и---у 2 b и о .
2 ду у дх дх
Возьмем теперь произвольную точку М(х0,у0) и проведем через нее
характеристики х = х0, у = уо, пересекающие кривую АВ соответственно в
точках Р и Q (рис. 1). Обозначим через Q область ограниченную этими
прямыми и дугой PQ.
О
Рис. 1
X
58 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Интегрируя обе части тождества (4) по области Q и пользуясь известной
формулой Грина, получим
fl[u b{u) - и L* (и)] d х d у = - о - и + 2Ъии \ d х -
ох ох
I ди ди .
+ | о и-----------------1-2 а и и | d у,
д у д у
(5)
где контур Г - граница области Q - состоит из трех частей: характеристик
QM и МР и дуги PQ.
Вычислим интеграл, взятый вдоль характеристик QM к МР.
Имеем
if f ди ди
- - о м 1- 2 b 1
о 1 я - я..
2 qmp [ дх дх
I ди 5о d х + | о и У 1 аи и
д у ду
d у =
1 . ( ди ди | 1 . ( ди ди ,
= - I о и y2buu\dx + - и и у2 и иа \ dy = J,
2 qm\ дх дх ) 2дД ду ду
так как вдоль QM меняется только х, а вдоль МР у.
Далее так как
ди ди , д (ии) . (, ди и и h 2 Ь и и = -^-- + 2 и \ о и-----------
дх дх дх [ дх
(6)
ди ди " д (ми) " ( ди
и и 1- 2 а и и =
ду ду ду
+ 2и\ а и---------
то выражение J представимо следующим образом:
J = -(u о) - -(ми) - f и I Ь о -I d
2 2 ,м qm { дх)
+-(и о) - - (м о) + f м I а о-- ] d у.
2 )р 2К ,м мр ду
(V)
II. Гиперболические уравнения
59
Теперь, учитывая формулы (6), (7), из (5) получаем следующее соотношение
Пусть теперь и - решение задачи Коши (1), (2), а и - какое-нибудь решение
однородного сопряженного уравнения (3). Тогда формула (8) может быть
переписана следующим образом:
Рассматривая правую часть равенства (9), мы видим, что в интегралы
входят неизвестные значения и, так как мы не знаем решения и на
характеристиках QM и МР.
Следуя идее Римана, исключим из формулы (9) эти неизвестные члены путем
выбора специального решения и сопряженного уравнения. А именно, возьмем
такое решение уравнения (3), которое удовлетворяло бы следующим трем
условиям:
д о
1 ) Ь о = 0 на характеристике QM,
дх
дх>
2 ) ах> = 0 на характеристике МР, (11)
ду
3) и = 1 в точке М .
V /м 2
Q
(8)
PQ
(9)
(10)
60 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Тогда
интегралы (10) будут равняться нулю, и равенство (9) перейдет в формулу
Римана
"лл ЫР+(мо)е 1 f ди ди Л
U[M) =--------------1- J и и v2buu\dx-
2 тут; I дх дх
ди ди Л ' °2)
- о и 1- 2аии \dy- ffo f dxdy,
I ду ду )У I J
которая и дает решение задачи Коши, так как выражения, стоящие под знаком
интеграла вдоль QP, содержат функции, известные на кривой АВ. В са-
_ , ди ди
мом деле, функция о была определена выше, а функции и, - и - также
дх ду
определены на кривой АВ в силу условий (2), а именно:
3(s,x) + ^-^cos(",x)|- =^-2 cos(s,x) + \|/cos(",x),
д и I д и / \ д и
- = cos(
д х'лв дх ' дп v Алв ds
:cos(s,y)+^^cos^y)!- = ^-^cos(,s, у) + \|/ cos(",y),
д и I _ д и
д у'АВ ds Qn v " *\ав qs
где -- производная по направлению касательной к кривой АВ.
д s
