Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
с нулевой правой частью. Поскольку действительную трудность в теории
уравнений с частными производными представляет не описание какого-нибудь
частного решения, а нахождение общего решения или решения,
удовлетворяющего заданными начальным или граничным условиям, можно
считать, что всякое уравнение (1) сдвигом приводится к канонической форме
д1и 1 \ди ,/ ..ом
+ а(х,у)- + Ь(х,у)- + с(х,у)и = 0. (4)
дхду д х ду
66 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Другое часто применяемое преобразование для уравнений типа (1), сохраняя
прежние независимые переменные х и у, заменяет неизвестную функцию и(х,
у) новой неизвестной и(х, у), связанной с и(х, у) соотношением вида
и{х,у) = к(х,у)и(х,у), (5)
где А,(х, у)-некоторый известный множитель.
Простое вычисление показывает, что преобразование (5) переводит
каноническое уравнение (4) в новое каноническое уравнение
^ U + al(x,y)--vb\(x,y)--I- с1(х,у)о = 0, (6)
дхду дх ду
где
д .
а. = ал In к,
1 ду
bx=b + - In к, (7)
ду
, , д2 . ,
с, =с + а,Ь,-а о Л--------In Л.
1 11 дхду
Эти формулы (7) показывают, что для того, чтобы уравнения (4) и (6) были
связаны преобразованием (5), необходимо и достаточно, чтобы существовала
функция к, такая, что
д д д2
а,-а = - In к, Ъ.-Ъ = - In А,, с-с = а.Ь.-аЬл In к.
1 '"V 7 1 /-\ J \ 11 /"V /->,
ду ду дхду
Из этих соотношений находим, что
д{ах-а) d(bx-b)
---------- = --------- = с. - с - a,b, +ab,
дх ду
или же, из равенства первой и второй частей третьей
II. Гиперболические уравнения 67
Если условия (8) выполнены, определение множителя X не представляет уже
никакой трудности. А именно, замечая, что тогда
8 (b{ -Ь) 8 (а1 - а)
8 у дх
и выражение
(й[ - b)d х + (aj - a)dу является полным дифференциалом, мы получаем для
определения X формулу
X = ехр |[(й[ -Ь) dх+(я[ -я) dу].
Таким образом, доказано утверждение.
Лемма. Для того чтобы два уравнения канонического вида (4) и (6) были
приводимы одно к другому посредством некоторого мультипликативного
преобразования типа (5), необходимо и достаточно, чтобы величины
, да дЪ
п- yab-c и к--------------------у о а - с
дх ду
имели для обоих уравнений одно и то же значение.
02и
Следствие. Уравнение (4) заменой (5) сводится к уравнению = 0,
если
дхду
и только если h = к = 0.
Согласно лемме, функции h и к являются (абсолютными) инвариантами группы
преобразований вида (5). В литературе их обычно называют инвариантами
Лапласа уравнения (4).
Легко видеть, что инварианты h и к переходят один в другой при
перестановке х и у. Выясним, как h и к меняются
при заменах переменных
вида (2). Дифференцируем две первые формулы (3), находим, что (5 "| 1 да
8bt 1 db
дф ф\|/ дх д\у ф\|/ ду
68 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Используя
эти равенства и формулы (3), получаем , h к
1 Ф'СФ'О7)' 1 Ф'С^'ОО
Выражаясь научно, (10) означает, что h и к являются относительными
инвариантами веса 1 группы преобразований вида (2). Лемма и формулы (10)
показывают, что отношение инвариантов Лапласа к / h представляет собой
(абсолютный) инвариант как для преобразований (5), так и для
преобразований (2).
§2. Преобразование Лапласа
Уравнение (4), в зависимости от того, какой из двух инвариантов Лапласа к
или h желательно выделить, можно записать в двух равносильных формах:
д2и ди ди (да , А ( д Y д i i n
а Ь b Ь b ab - h \u = b b b a \ u - hu - 0,
дхду дх ду j
д2 и du du (db ) ( d Yd ,
+ a h b h h a b - к \u =-------------1- a h b \ u - ku = 0.
dxdy dx dy ^(Зу j ^(Зу A^x
Поэтому уравнение (4) эквивалентно каждой из систем
д
ь а
ду
u = U\, \A- + b\u\-hu = 0, (11)
дх
+ b I и = и ,, + а I и 1 - ки = 0. (12)
0х ) (ду )
Формулы (11), (12) показывают, что если хотя бы один из инвариантов h, к
тождественно равен нулю, то уравнение (4) интегрируется в квадратурах.
Действительно, если h = 0, то второе из уравнений (11) становится
обыкновенным линейным дифференциальным уравнением относительно
неизвестной щ. Интегрируя его, получаем
Mj = Б(у) ехр (- \Ь с/х).
II. Гиперболические уравнения
69
Используя метод вариации постоянной, из первого уравнения находим:
К несчастью, очень редко оказывается, что h = 0 или к = 0! Однако и в
более общей ситуации может оказаться полезной запись уравнения (4) в виде
одной из систем (11) или (12), поскольку она позволяет преобразовать
заданное уравнение в два других уравнения вида (4), одно из которых, в
свою очередь, может иметь один из инвариантов Лапласа равный нулю.
Соответствующие преобразования называются х- и у-преобразованиями
Лапласа. X - преобразование задается первой из формул (11) и состоит в
переходе от неизвестной и к неизвестной щ .
Если h Ф 0, то второе из уравнений (11) можно переписать в виде
Подставляя это выражение вместо и в первое уравнение (11), получим
и = ехр(-fa d у)[^Х(х) + J7(y)exp( J(a d y-b d x)) d yj, где X(x) -
произвольная функция переменного x, a Y - переменного у. При к = 0 из
(12) аналогичным образом получаем формулу и = ехр(-}й dx)[^F(y)+
