Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваемых уравнений (1) - (3).
§2. Задача Коши
Для уравнения (1) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию
u{x,t) класса C2(t > 0)П С1 {t > О), удовлетворяющую уравнению (1) в
полупространстве t > 0 и начальным условиям при t = 0 :
t=0 = u0(x), ^-\ ^0 = Ml(x). (4)
ot
При этом необходимо
F е C(t > О), г/0еС'(д") м,ес(ди).
Для уравнения диффузии (2) задача Коши становится так: найти функ-
цию u{x,t) класса C2[t > 0)fl C[t > 0), удовлетворяющую уравнению (2) в
полупространстве (>0 и начальному условию при 1 = 0:
"|/=о = моМ- (5)
При этом необходимо F е C(t > 0). и0 еф").
Приведенная постановка задачи Коши допускает следующее обобщение. Пусть
даны дифференциальное уравнение 2-го порядка
д2и " " д2и " д2'
+У а,о + ф
д t t=\j=\ dxjdxj i=1 dxfit
du du du ,
x,t,u, ,...,-----------, - , (6)
d X\ dx" dt
кусочно-гладкая поверхность 2 : t = <т(х) и функции м0 и и1 на 2. Задача
Коши для уравнения (6) состоит в нахождении в некоторой части области
34 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики t > <т(х),
примыкающей к поверхности 2, решения и(х, t), удовлетворяющего на 2
краевым условиям
ди
и у - и0,, -
Л дп
ъ-их
где и - нормаль к 2, направленная в сторону возрастающих t.
§3. Краевая задача для уравнений эллиптического типа. Смешанная задача
Краевая задача для уравнения (3) состоит в нахождении функции и(х) класса
С 2 (с) ПС1 (с), удовлетворяющей в области G уравнению (3) и граничному
условию на S вида
ди I
аи + Р-s = v, (7)
дп
где a, р и v - заданные непрерывные функции на S, причем a > 0, р > 0, a
+ р >0.
Выделяют следующие типы граничных условий (7):
Граничное условие I рода (a = 1, Р = 0)
u\s = uо ¦
Граничное условие II рода (а = 0, р - I)
ди I
т-\s = u\ ¦ дп
Граничное условие III рода (р = 1, a > 0)
ди I
1- a u\s = u2 ¦
д п
Соответствующие краевые задачи называются краевыми задачами I, II и III
рода.
Для уравнений Лапласа и Пуассона краевая задача I рода A u = -f, u\s~Uq
I. Введение 35
называется задачей Дирихле; краевая задача IT рода
Л г Su\
ku = -f, - \s = U\
on
называется задачей Неймана.
Для уравнения колебаний (1) смешанная задача ставится следующим образом:
найти функцию u{x,t) класса C2(Qq0 )П С1 (йм ), удовлетворяющую уравнению
(1) в цилиндре начальным условиям (4) при t = 0, xeG и граничному условию
(7) при х е S, t > 0.
Аналогично для уравнения диффузии (2) смешанная задача ставится так:
найти функцию u(x,i) класса C2(QO0)fl удовлетворяющую
уравнению (2) в , начальному условию (5) и граничному условию (7).
§4. Корректность постановки задач математической физики. Теорема
Ковалевской. Пример Адамара
Поскольку задачи математической физики описывают реальные физические
процессы, то математическая постановка этих задач должна удовлетворять
следующим требованиям:
а) решение должно существовать в каком-то классе функций М);
б) решение должно быть единственным в некотором класса функций М2;
в) решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и
граничных данных, свободного члена, коэффициентов уравнения и т.д.).
Непрерывная зависимость решения и от данного задачи и обозначает
следующее: пусть последовательность данных ик, к = 1,2,3,..., в каком-то
смысле стремится к и и ик, к = 1,2,3,..., и - соответствующие решения
задачи; тогда ик ->и, к-><х> в смысле сходимости, выбранной надлежащим
образом.
Требование непрерывной зависимости решения обуславливается тем
обстоятельством, что данные физической задачи, как правило, определяются
36 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики из
эксперимента, приближенно, и поэтому нужно быть уверенным в том, что
решение задачи не будет существенно зависеть от погрешностей измерений.
Задача, удовлетворяющая перечисленным требованиям а)-с), называется
корректно поставленной, а соответствующее множество функций мх П М2 -
классом корректности.
Нахождение корректных постановок задач математической физики и методов
построения их решений и составляет основное содержание предмета уравнений
математической физики.
В этом параграфе мы выделим довольно общий класс задач Коши, для которых
решение существует и единственно. А именно, рассмотрим следующею систему
дифференциальных уравнений с N неизвестными функциями ux,u2,...,uN\
i = 1,2,..., N. Здесь правые части Ф; не содержат производные порядка
выше kt и производные по t порядка выше kt - 1, т.е.
Для системы уравнений (8) поставим следующую задачу Коши: найти решение
ul,u2,...,uN этой системы, удовлетворяющее начальным условиям при t = t0
:
а0 + а, н 1- ап < kt,
а о < kt -1.
Ф,*(4 к = 0,1,- 1; i = 1,2,...,А, (9)
где (х) - заданные функции в некоторой области G с Rn.
Теорема Ковалевской. Если все функции ф,^(х) аналитичны в некоторой окре-
(
стности точки х0 и все функции Ф; х,/, щ,и2,...,uN,...,
dta"dx^ ...Sx""
V
/
I. Введение 37
( ла|+--+а" _ Л
аполитичны в окрестности точки
^о.Ф1о(л>).---.Фм)(*о
ла. +• • н-а"
5 ' ФА,
дх^' ...0х""
то задача Коши (8), (9) имеет аналитическое решение в некоторой
