Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
генерирует из исходного уравнения Е0
^ U + а(х, у)^- + b(x, у)^~ + с(х, у)и = 0 (1)
дхду дх ду
уравнения Ef вида
74 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики коэффициенты
и инварианты которых связаны между собой соотношениями:
дЛг и и г. дЬ, ,
а,.=ам- - \nh_v h=h_v с. = abj + -1 h._x,
д у ду
д1 (3)
А. =2 A. ,-к. , InA . ,, k.=h.,,i = 1,2,...
7 г-1 г-1 ^ -л г-1' * /-15 ' '
охду
Здесь а0~а, b0 - b, с0=с. Аналогично, у-преобразование Лапласа дает
цепочку уравнений Еч:
д2и_, ди_, ди_,
1- а ¦-1- Ь ,-1- с ¦ и ¦ = 0, 7
= 1,2,... , (4)
д/-\ -1 s-\ -I ^ I I ' '' У \/
хду дх ду
где
а . =а Ъ . ,=Ъ .--In к., с . , =а . Ъ . , + ^ а~' - к .,
-7-1 -7' -7-1 -7 ^ -7' -7-1 -7-1 -7-1 ^
ОХ ОХ
д2
А . ,=к ., к . ,=2к -h . In А: ., 7 = 0,1,2,...
-7-1 -7' -7-1 -7 -7 ^ /-V -7' ' ' '
(7 х д у
(5)
В виде систем первого порядка уравнения (1), (2) и (4) записываются в
виде:
2- + я,.1и,-=им, Г?- + й1им-А;и; =0, (6)
+ Ь , I U : = U , I , [ Я I М - к и = 0. (7)
дх l^y J _l_1 W
Отметим, что инварианты Лапласа А, и кх уравнения Евычисляются по
формулам
д2
k+\ =2 hk - Vi "у-z- In hk, AeZ,
OXOj/
kk+\=hk> k = h_x, h0 = h. (8)
Здесь А и A - инварианты Лапласа уравнения is0.
II. Гиперболические уравнения §2. Явные формулы для решений
75
Как уже отмечалось выше, зная решение ип уравнения Еп, можно найти
решение и исходного уравнения Е0, не прибегая к операции интегрирования.
Чтобы найти формулу, связывающую эти решения, перепишем второе из
соотношений (6) в виде
¦ | д ,Л
И; = Ь О
h, I д х
ч+\ ¦
Выражая с помощью этой формулы ип_х через ип, ип_2 через ип_х и т.д.,
приходим к формуле
Поскольку
h\dx ) hx удx j hn_x 1, dx
d * -\bdx d [ bdx
- + b xx e 1 -e1
дх dx
последнюю формулу можно переписать в виде
Jbdx _ 1 д 1 д 1 д (^ Jbdx ^
- * * * у,? I•
h дх /г, дх hn_^ дх ' '
(9)
(10)
Аналогичным образом получаем из соотношения (7)
\adу 1 д 1 д 1 д / \ady ^
ие1 ------------------------1 и_".е! I.
к ду к_х ду кх_т ду ' '
Формулы (9) и (10) важны при интегрировании исходного уравнения Е0
каскадным методом Лапласа. Пусть hn= 0. Тогда из (6) получаем
~h+a")u"=Y(?)e~^dx
ип =e{--ia"dy)\x{x)+ \Y(yy{a"dy-bdxUy\, (11) где X и Y - произвольные
функции переменных х и у соответственно. Введем обозначения
76 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики Тогда
ип = а[х + |Т(3<7 у).
Подставляя это выражение для ип в (9), получаем, что и имеет вид
где А,А1,...Ап -заданные функции от х и у, а!^ - производная порядка т
произвольной функции А(х). Так как Y - произвольная функция, то, полагая
Y = 0, мы имеем следующее специальное решение:
и = АХ + А1Х' + ...+ А"Х("1 (12)
Итак, если инвариант и-го порядка hn тождественно равен нулю, то исходное
уравнение Е0 (1) имеет специальное решение (12), где Х(х)~произвольная
функция.
Можно доказать, что если для уравнения Е0 ряд Лапласа обрывается в обе
стороны, то общее решение является суммой двух специальных. А именно,
справедливо следующее утверждение:
Теорема. Пусть для уравнения (1) hs = к_г = 0. Тогда общее решение
данного уравнения представимо в виде:
и = АХ + АхХ' + ...+ АпХ(п) + BY + BJ' + ... + BmYM.
Здесь А, Аи,..Ап,В,Ви...Вт -некоторые конкретные функции, а X и Y -
произвольные функции переменных х и у соответственно.
§3. Уравнение Эйлера - Пуассона
В качестве примера применения каскадного метода Лапласа рассмотрим важное
для приложений уравнение Эйлера - Пуассона
II. Гиперболические уравнения 77
где (3 и (3' -некоторые постоянные. Следуя Дарбу, будем обозначать
уравнение (13) символом ?7( (3,(3')• Сравнивая (13) с (1), находим
а = , Ь = -^-, с = 0.
х - у х - у
Далее так как инварианты Лапласа уравнения (1) определяются по формулам
до дЪ
п= Yab-c и к = vab-c,
дх ду
то для рассматриваемого уравнения (13) имеем
(х -у) (х- у)
Теперь из формулы (8) с помощью индукции нетрудно извлечь, что для цело-
h А"
п" =-
(х - у)2
где постоянные A-t связаны рекуррентными соотношениями
An+t=2A"-An_t+2. (15)
Из (15) находим
Ап =(п + 1)Л0 -пА_| + и (и + l).
Так как в соответствии с (14)
Л0=р'(1-Р), А_х = (3(1 - (3'),
то окончательно имеем:
А" = п2 + 03' + (1 -13)]" + р'(1 - Р)= (и + Р'Хи + 1 - Р). (16)
Итак, для любых целых п
(и + Р'Хи + 1-Р) , _("-! + Р'Х" ~ Р) П7ч
п ( \2 ' п 1 \2 11
(х -у) (х- у)
Поскольку инварианты уравнения is(p - я, р' + я) совпадают с (17), то
результат и-кратного применения х-преобразования Лапласа к уравнению
78 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
с ?((3 - и,(3' + п).
Второй факт, непосредственно вытекающий из формулы (17), состоит в том,
что уравнение Эйлера - Пуассона интегрируемо в квадратурах каскадным
методом Лапласа тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел р и Р'
является целым. В самом деле, в этом и только в этом случае 1гп - 0 или
кп= 0 для некоторого целого п.
Рассмотрим, например, уравнение
В этом случае р = Р' = -1 и из (17) имеем hx=k_x = 0. Поскольку для
уравне-
и, следовательно, решение исходного уравнения (18) имеет вид (см. (9)):
