Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
1 х
ф(х) + - JV(y) dy + С
I
ср(х)-- \\]f(y)dy-C
Ax,t)~ - v ' 2
у Л-rut | л ut
ф (x + at) + - Ji|/(y) d у + С + ф(х - at) j\\i(y)dy-C
42 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики и
окончательно получаем формулу
. ф(х + at) + ф(х - at) 1
i{x,t)~-
9 - + т- Ыу)аУ-
2 2а х_а,
(8)
Формула (8) называется формулой Даламбера.
Нетрудно проверить, что формула (8) удовлетворяет уравнению (1) и
начальным условиям (2) при условии, что ф(х)е C2(r), а \|/(х)е С1^).
Таким образом, изложенный метод доказывает как единственность, так и
существование решения поставленной задачи.
§2. Неоднородное уравнение. Устойчивость решений
Рассмотрим задачу Коши для неоднородного уравнения колебаний:
д2и 2 д2и \ "
-г- = а - + f(x,t), х е R, t > О,
dt
дх
и(х,О) = ф(х), ^ = ф(х), х е R .
dt
(9)
(10)
Легко проверить, что решение задачи (9), (10) и представимо в форме
и = о + <в, (11)
где о - решение задачи Коши (1), (2), а <в - решение следующей задачи:
д2и 2 d2u г/ \ "
-т- = я xr + f\x,t), xeR, t> 0,
dt дх
(о(х.О) = 0. М^) = 0, х € Л. dt
(12)
Пусть w(x,t;т)- решение вспомогательной задачи Коши:
xeR, t>x,
d2W 2 d2W т- = я
dt-
дх
2 '
w(x>x)l t-x = o, dw^ I t=x = f(x, 4
ot
(13)
II. Гиперболические уравнения Покажем, что решение <в(x,t) задачи (12)
определяется формулой
t
a(x, t) = \w{x, t; x)dx, о
где W{x,t;т)- решение задачи (13). Действительно
О)(х,0)= 0, д-^> = W(x,t;t)+ Л
43
(14)
dt
ot
0ю(х,О) .... тт
и, следовательно, -- = 0 в силу начального условия (13). И, наконец,
dt
д2(й 2 92ю _ dw(x,t;x), dt2 0 дх2 ~ dt
tf я 2
J
d2W(x,t;z) 2 d2W{x,t;т)
dt
дх2
dx = f(x,t).
Решение задачи (13) дается формулой Даламбера:
1 x+a(t-х)
W(x,t; х) = -
(15)
/ \ mix + at)+mix - at) 1 x+f / \ , 1 *гХ+а^г \ к. /
*М = -------------------- - + у- \v(y)dy + - \
^ ^а x-at
Теперь, используя формулы (8), (11), (14) и (15), находим, что решение
исходной задачи (9), (10) задается формулой:
x+at
[v\d v + j
2° 0x-a(t-z)
Покажем, что задачи (1), (2) непрерывно зависят от начальных данных
(устойчиво). А именно: каков бы ни был промежуток времени [Од0] и какова
бы ни была степень точности 8, найдется такое б(8Д0), что всякие два
решения уравнения (1) щ{х,{) и u2{x,t) в течение промежутка времени t0
будут различаться между собой меньше чем на 8:
| И] (х, t)-u2{x, ?)| с 8, если только начальные значения W|(x,0)=cpi(x),
отличаются друг от друга меньше чем на 5:
| ф|(х)-ф2(*)|<5> I Vi W-У2(Д|<5- (16)
0 <t<t0,
"2(^0)= Ф2 (*)> ди7(х,0) ( ч
=?2(4
ot
1 Vi W-V2W|<S-
44 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
§3. Метод продолжений
1. Полуограниченная прямая. Рассмотрим задачу о распространении волн
на полуограниченной прямой х > 0. Эта задача имеет важное значение при
изучении процессов отражения волн от конца и ставится следующем образом:
найти решение уравнений колебаний
Действительно функции ux{x,t) и u2{x,i) связаны со своими начальными
данными формулой (8), поэтому имеем
u2(x,t)\ < ^-| фДх + at)- ф2(х + at)\ + ~| 9i(x - at) - ф2(х ~ at)\ +
Y-nt
j x+at
x-at
Откуда в силу неравенств (16) получаем:
§ § 1
\ul(x,t)-u2{x,t)\<- + - + - 5-2a?<5(l + f0),
2 2 2а
что и доказывает наше утверждение, если положить
5 =
8
1 + ^0
д2и 2 и
у = а --------2 ПРИ 0 < X < СО, t> 0 ,
д Г д х
(17)
удовлетворяет граничному условию
и\
(0,t)= fi(t) t> 0
(18)
или
(19)
и начальным условиям
и(х,О) = ф(х), д"(*,0) _ 0 < х < со. (20)
dt
П. Гиперболические уравнения 45
Исследуем сначала краевую задачу (17), (18), (20). Решение этой задачи
можно представить так:
u(x,t) = о(х,7) + w(x,t), (21)
где функции о(x,t) и w(x,t)- решения следующих задач
^. = а2^-, 0 < х < со, t> 0 , (22)
07" дх
и(0,7)=0, 7>0, (23)
и(х,0) = ф(х), --^Х> ^ = \|/(х), 0 < х < со (24)
dt
02W 7 02W
-тг = а 0<x<co, 7 > 0, (25)
07 0 X
w(0,7)-p(7), 7 > 0, (26)
"<*,0)_0, ^fcO = 0. 0S,<=o (27)
dt
соответственно.
Нетрудно проверить, что функция
/ ч Ф(х + at) + ф(х - at) 1 x+f. ч ,
ф.0 = -----------------,-1ГЛ--~ + Т~ №(y)dy,
2 2" х-а,
где Ф(х) и 'Р(х)- нечетные продолжения ф(х) и \|/(х) удовлетворяет
условиям (22) - (24). Последнею формулу можно записать так: ф(х+а7) +
ф(х-а?) 1 x+f , ,
-------------* ч J \у{у)ау, для х>я7, х>0,
2 2 a x-at
(28)
э(х,7) =
ф(х+а7)-ф(а7-х) 1 *+f , ,
----------------ч-----J yt\y)dy, для at>x, х>0.
2 2 a at-x
Далее решение задачи (25) - (27) будем искать в форме
w(x,7)= /(х - at). Определим функцию / из граничного условия
A$,t)= f(- at)=\i{t),
46 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики откуда
/00=м|--],
так, что
/ \ ( x-at\ ( х'
(хД=И =w" -
a J у а,
Однако эта функция определена лишь в области х -at < 0, так как р(?)
определена для t >0. Чтобы найти w{x,t) для всех значений аргументов,
продолжим на отрицательные значения t, полагая 40=° для t <0. Тогда
функция
{x,t)=\\t--\ (29)
X а
будет определена для всех значений аргументов, и будет удовлетворять
нулевым начальным условиям.
Теперь формулы (21), (28) и (29) дают решение исходной задачи (17), (18),
