Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
§1. Уравнение колебаний
Многие задачи механики (колебания струн, стержней, мембран и трехмерных
объемов) и физики (электромагнитные колебания) приводят к уравнению
колебаний вида
p^-^-=div(/> gradw)-^ u+F{x,t), (1)
I. Введение 11
где неизвестная функция и(х, t) зависит от п (п = 1,2,3) пространственных
переменных х = (х1,х2,...,х") и времени t коэффициенты р, р и q
определяются свойствами среды; F{x,t)~ плотность внешнего возмущения. В
уравнении (1) в соответствии с определением операторов div и grad
div(/; grad г/)=Х
д х,
ди
ох.
Продемонстрируем вывод уравнения (1) на примере малых поперечных
колебаний струны. Струной называется упругая нить, не сопротивляющаяся
изгибу.
Пусть в плоскости (х,и) струна совершает малые поперечные колебания около
своего положения равновесия, совпадающего с осью х. Обозначим через
u(x,t) величину отклонения струны от положения равновесия в точке х в
момент времени t, так что и =u(x,t) есть уравнение струны в момент
времени t. Мы будем пренебрегать величинами высшего порядка мало-ди
сти по сравнению с tg а=-.
дх
Так как струна не сопротивляется изгибу, то ее натяжение T(x,t) в точке х
в момент времени t направлено по касательной к струне в точке х (Рис. 1).
Рис. 1.
12 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики
Любой участок струны (а,Ь) после отклонения от положения равновесия в
рамках нашего приближения не изменит своей длины
и, следовательно, в соответствии с законом Гука величина натяжения |г(х,
?)| будет оставаться постоянной, не зависящей от х и t, |г(х,?)| = Г0.
Обозначим через F(x,t) плотность внешних сил, действующих на струну в
точке х в момент времени t и направленных перпендикулярно оси х. Наконец,
пусть р(х) обозначает линейную плотность струны в точке х так, что
p(x)<7x-масса элементы струны (x,x + dx). Составим теперь уравнение
движения струны. На ее элемент (х, х + dx) действуют силы натяжения Т(х +
dx,t), -T{x,t) (Рис.1) и внешняя сила, сумма которых, согласно законам
Ньютона, должна быть равна произведению массы этого элемента на его
ускорение. Проектируя это векторное равенство на ось и, получим
2
dt
TQ sin а
^-^sincc Но в рамках нашего приближения
d2u(x,t)
X+Fyx,t)Ах=р(хJАх-----4 2 '.
(2)
sma =
tga
yfhdg-
Aga =
a
dx '
и, следовательно, из (2) имеем
d2u(x,t)
dt1
= т°т-
Ax
du(x + Ax,t) du{x,t)
dx
dx
+ F(x,t),
d2u p - = T,
d2b
dt2 U0x2
¦ + F.
(3)
Уравнение (3) и есть уравнение малых поперечных колебаний струны.
I. Введение 13
Если плотность р постоянна, р(х) = р, то уравнение колебаний струны
принимает вид
2 д2и ТТ = а т^г + /.
д2и
dtz
дхг
(4)
2 Та F , Ч
где обозначено а = - , f = - • Уравнение (4) мы будем также называть од-
Р Р номерным волновым уравнением.
Уравнение вида (1) описывает также малые продольные колебания упругого
стержня
гд2и дг ~ = -------
dt2 дх
" " ди \ \
ES-\ + F(x,t), дх J
(5)
где S(x)~ площадь поперечного <
I стержня и Е(х)- модуль Юнга i
точке х.
Аналогично, выводится уравнение малых поперечных колебаний мембраны
д2и
рТТ = 7с
dt2
8х2 дх\
+ F.
(6)
Если плотность р постоянна, то уравнение колебаний мембраны принимает вид
( з2.. Я2"Л
д2и dt2
д и d и
d х,2 d х?
+ /.
F
(7)
Уравнение (7) мы будем называть двумерным волновым уравнением. Трехмерное
волновое уравнение
d2 и
( я2
d и d и d и
2.. А
\dx\ dx\ dx\j
+ f
(8)
описывает процессы распространения звука в однородной среде и
электромагнитных волн в однородной непроводящей среде. Этому уравнению
удовлетворяет плотность газа, его давление и потенциал скоростей, а также
со-
14 В. А. Байков, А. В. Жибер Уравнения математической физики ставляющие
напряженности электрического и магнитного полей и соответствующие
потенциалы.
Мы будем записывать волновые уравнения (4), (7) и (8) единой формулой:
где А - оператор Лапласа
. д2и д2и д2и
А = -г + -Г + --- + -7.
д "Т| дх2 дхп
§2. Уравнение диффузии
Процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде описываются
следующим общим уравнением диффузии:
5 ы
р-^-= div(p gradw)-^ M+f(x,?). (9)
Выведем уравнение распространения тепла. Обозначим через u(x,t)
температуру среды в точке х = (х1,х2,х3) в момент времени t, а через
р(х), с(х) и К(х) - соответственно ее плотность, удельную плотность и
коэффициент теплопроводности в точке х. Пусть F(x, t) - интенсивность
источников тепла в точке х в момент времени t. Подсчитаем баланс тепла в
произвольном объеме V за промежуток времени (t,t + At). Обозначим через S
границу V, и пусть п - внешняя нормаль к ней. Согласно закону Фурье,
через поверхность S в объем V поступает количество тепла
Qi=\\k- dS At=At\j(k gradu,n)dS,
s dn s
равное, в силу формулы Гаусса-Остроградского,
Ql=\\\dn(k gradw)<7xAc
V
I. Введение 15
За счет тепловых источников в объеме V возникает количество тепла
Q2 = t)dx At.
v
Так как температура в объеме V за промежуток времени (t,t + At) выросла
на величину
u(x,t + At)-u(x,t)~ - At,
V JK;dt
то для этого необходимо затратить количество тепла
