Уравнения математической физики - Байков В.А.
ISBN 5-93972-242-3
Скачать (прямая ссылка):
§4. Потенциал простого слоя......................................179
Лекция 24. Сведение задач Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям
..........................................................180
§ 1. Постановка задач и единственность их решений...............180
§ 2. Интегральные уравнения для краевых задач....................184
Оглавление
7
Лекция 25. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости.............186
§ 1. Основные задачи ...........................................188
§2. Логарифмический потенциал...................................190
Задачи .....................................................193
V. Интегральные уравнения..........................................194
Лекция 26. Уравнения Фредгольма второго порядка и Вольтера ... 194
§ 1. Классификация интегральных уравнений.......................194
§2. Метод последовательных приближений. Понятие о резольвенте 195
§ 3. Уравнение Вольтерра........................................199
Задачи .....................................................200
Лекция 27. Интегральные уравнения с вырожденным ядром. Теоремы
Фредгольма......................................................202
§ 1. Уравнение с вырожденным ядром..............................202
§ 2. Теоремы Фредгольма.........................................207
Задачи .....................................................208
Лекция 28. Интегральные уравнения с симметричным ядром .... 209 § 1.
Свойства собственных функций и собственных значений . . . .210
§2. Теорема о конечном спектре..................................214
§ 3. Спектр интегрированных (повторных) ядер ...................216
Лекция 29. Теорема Гильберта-Шмидта..............................217
§ 1. Разложение интегрированных ядер............................218
§2. Теорема Гильберта-Шмидта....................................220
§ 3. Решение неоднородного уравнения............................223
Задачи .....................................................225
VI. Специальные функции............................................227
Лекция 30. Функции Бесселя. Полное разделение переменных в уравнении
колебаний круглой мембраны................................227
§ 1. Функции Бесселя............................................227
§ 2. Полное разделение переменных в уравнении колебаний круглой
мембраны....................................................230
Задачи .....................................................234
8
Оглавление
Лекция 31. Многочлены Лежандра. Определение потенциала внутри
сферы.............................................................236
§ 1. Многочлены Лежандра..........................................236
§2. Потенциал полой сферы ........................................241
Задачи .......................................................243
Лекция 32. Сферические функции. Задача Дирихле для шара .... 244
§ 1. Определение сферических функции..............................244
§2. Свойство ортогональности......................................246
§ 3. Гармонические многочлены.....................................247
§ 4. Задача Дирихле для шара......................................248
Задачи .......................................................250
Литература...........................................................251
Предисловие
Курс "Уравнения математической физики" является базовым университетским
курсом для студентов факультета прикладной математики. Для того чтобы
понять его в полной мере, необходимо знание и свободное оперирование
основными понятиями дисциплин "аналитическая геометрия", "высшая алгебра"
и "математический анализ", поэтому в университете он входит в программу
обучения студентов в пятом и шестом семестрах третьего курса.
Отметим, что выбор материала был ограничен как объемом лекционных часов,
так и желанием научить "прикладника" приемам и методам решения прикладных
задач. Желающих более глубоко разобраться в предмете можно отослать к
работам [1] - [9].
При подборе задач в качестве базового был взят "Сборник задач по
уравнениям математической физики" под редакцией B.C. Владимирова [10], а
при подготовке курса лекции мы использовали в основном книги [11] - [14].
I. Введение
Лекция 1. Основные уравнения математической физики (уравнение колебаний,
уравнение диффузии, уравнения Пуассона и Лапласа)
Предмет теории уравнений математической физики составляет изучение
дифференциальных, интегральных и функциональных уравнений, описывающих
явления природы. Точные рамки этой дисциплины определить довольно трудно.
Кроме того, большое разнообразие вопросов, относящихся к уравнениям
математической физики, не позволяет охватить их сколько-нибудь полно в
университетском курсе.
Наш курс будет посвящен в основном изучению уравнений в частных
производных второго порядка с одной неизвестной функцией, в частности
волнового уравнения, уравнения теплопроводности и уравнения Лапласа,
обычно называемых классическими уравнениями математической физики.
