Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
электрического слоя мощностью пт = J/с. Поэтому на контур с током можно
натянуть произвольную поверхность и считать, что на ней
140
Глава 2
должно выполняться условие (2.63). Второе граничное условие -
непрерывность потенциала на двойном слое - также выполняется, поскольку
нормальная компонента магнитного поля непрерывна на любой поверхности:
2.95. Найти псевдоскалярный потенциал ф магнитного поля, создаваемого
бесконечно длинным прямым проводом с током J. Вычислить компоненты
магнитного поля.
2.96*. Найти псевдоскалярный потенциал ф магнитного поля замкнутого
линейного контура с током. Решить задачу: а) путем интегрирования
уравнения Лапласа для потенциала; б) используя известное выражение
(2.50') для векторного потенциала.
УКАЗАНИЕ. При решении задачи первым способом воспользоваться
представлением решения уравнения Лапласа в виде интеграла по замкнутой
поверхности, см. пример 2.4.
Энергия и силы в постоянном магнитном поле. Вычислим работу по
перемещению контура I с током J во внешнем магнитном поле Н. Пусть каждый
элемент контура dl сместится на малый вектор ds. На элемент тока
действует сила Ампера (2.45), поэтому работа SA по перемещению всего
контура запишется в виде
8 А = ^ j 8s ¦ [dl х Н] = ^ J Н -dS = ^8Ф,
I SS
где dS = 5s х dl, 5S - полная поверхность, которую опишет весь
контур
с током при его малом смещении (и, возможно, деформации).
Интеграл
в предыдущей цепочке равенств представляет собой приращение магнитного
потока
Ф = j H-dS = j xotA-dS= <j> A-dl (2.65)
S S I
через контур с током при его перемещении. Это изменение, 5Ф, равно как
раз потоку через дополнительную поверхность, прочерченную контуром (рис.
2.10). Вычисленная работа представляет собой, очевидно, приращение
энергии контура во внешнем поле:
5 А = 6W.
(2.66)
2.2. Магнитостатика
141
Элементарная работа позволяет вычислить обобщенные силы &а, действующие
на контур с током, так как она связана с приращением обобщенных координат
5qa известным из механики соотношением:
5А = ^2&а 5qa
Но аналогию с механикой можно углубить, если ввести в рассмотрение
потенциальную функцию контура с током во внешнем поле
V = -l Ф.
(2.67)
Работа магнитных сил совершается за счет убыли потенциальной функции: SA
= - 5U, а обобщенные силы вычисляются по обычным формулам механики:
= -|^- (2.68)
dqa
Следует иметь в виду, что потенциальная функция играет роль потенциальной
энергии только при бесконечно медленных перемещениях контура. При
конечных скоростях возникает явление электромагнитной индукции (см.
следующий раздел), которое изменяет силу тока в контуре и приводит к
появлению наряду с механическими электродвижущих сил.
Рассмотрим теперь взаимодействие двух контуров, а-го и 6-го, в отсутствие
прочих контуров. Роль внешнего поля играет поле другого контура, и
потенциальная функция их взаимодействия примет вид
Uab = Uba = -^$a6 = ~^Ьа = j f .
la lb
Здесь
ФЬа = ^ Аа • dl^
lb
- магнитный поток поля а-го контура через Ь-й контур и использована
формула (2.50') для векторного потенциала; R - расстояние между dla и
dlb- Удобно записывать потенциальную функцию в симметричной форме:
2
Uint = l(Uab + Uba) = -± Y, LobJaJb, (2.69)
афЪ= 1
142
Глава 2
где
Lab= ф ф (Lba = Lab) (2.70)
- коэффициент взаимной индукции двух контуров. Он определяется (в
отсутствие намагничивающихся материальных сред) только формой и
расположением контуров с током, а также направлениями их обхода
(направлениями токов). Силы взаимодействия контуров вычисляются через
Uint согласно (2.68). Магнитный поток, создаваемый контуром а через
контур 6, также выражается через коэффициент взаимной индукции:
Ф Ьа = \LbaJa- (2.65')
Если толщины проводников не малы по сравнению с их длинами, то в
полученных выше формулах нужно сделать замену J dl -> j dV и
интегрировать по объему каждого из проводников. Это приведет к выражениям
п __1_ V-' f f 3a(ra)-j(ra) 2
Uint ~ or2
афЬ=1у^ уъ афЪ= 1
'Lj J J Г д f dVadVb = - ~2 YlLabJaJb,
(2.71)
где коэффициент взаимной индукции
Lab=jbb 11 Ja(r° fiJb(rb) dVa (2J2)
K,
и т. д. Все эти выражения пригодны и для произвольного числа токов, если
провести суммирование по всем токам.
Формулы (2.71), (2.72) позволяют построить потенциальную функцию
взаимодействия отдельных элементов одного и того же тока:
U=~YcJ j(r)-A(r)dV = J j(r)^(r/) dVdV' = -±LJ2.
2c J w 2с2 J R 2c2
V V
(2.73)
Эти выражения можно рассматривать как результат взаимодействия отдельных
токовых нитей, на которые можно разделить любой ток конечной толщины.
Величина
Г 1 f j(r) 3(Г) 7Т/ 7Т//
2.2. Магнитостатика
143
называется коэффициентом самоиндукции. При его вычислении необходимо
учитывать конечность сечения проводника, иначе соответствующий интеграл
разойдется.
Потенциальная функция только знаком отличается от энергии, которую нужно
затратить, чтобы создать в пространстве соответствующие токовые
распределения. Поэтому полную магнитную энергию W постоянных токов можно
