Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
использовано условие стационарности токов (2.48). Интегрируя обе части
равенства по объему и перейдя к интегрированию по бесконечно удаленной
поверхности, получим f j(rf) dV' = 0. Это означает, что члена,
аналогичного кулоновскому потенциалу, в магнитостатике не существует.
Для преобразования второго интеграла в (1) используем тождество
[г' х j(rf)} х г = j(rf)(r • г') - rf drv'[j(r')(r • г')}.
2.2. Магнитостатика
137
Умножим обе части этого равенства скалярно на произвольный вектор а и
проинтегрируем по всему пространству:
а • Ar'x j(r')] dV' х г =
(2) J
= a J j(r')(r • г') dVr - J (а - r') di v'[j(r')(r • r')] dVr.
Последний интеграл преобразуем с помощью тождества
(а • г') diy'[j(r')(r • г')} - а • j(r')(r • г').
После интегрирования по всему пространству и применения теоремы
Остроградского-Гаусса слагаемое в правой части, содержащее dh/,
обращается в нуль. В итоге из равенства (2) ввиду произвольности вектора
а следует
(3) J[г'х j(r')]dV'х г = 2 J j(r')(r • г') dV'.
Использовав это тождество в (1), получим представление для векторного
потенциала, приведенное в условии примера. ¦
2.86. Вычислить магнитный момент т вращающейся сферы, рассмотренной в
задаче 2.82. Сделать то же самое для случая, когда заряд распределен
равномерно по объему. Вычислить магнитное поле на большом расстоянии от
сферы и сравнить с результатом точного решения указанной задачи.
2.87. Показать, что магнитный момент плоского контура с током можно
вычислить по формуле
m=^Sn, (2.60)
где J - ток в контуре, S - площадь, ограниченная контуром с током, п -
орт нормали к плоскости контура.
2.88. Пусть система заряженных частиц с одинаковым отношением заряда к
массе е/т совершает финитное (ограниченное в пространстве) движение в
некотором внешнем поле. Показать, что магнитный момент такой системы
частиц пропорционален ее моменту импульса:
т = rjL, (2.61)
138
Глава 2
где г/ = е/Ътс - гиромагнитное отношение, L = J2ara х ра - момент
импульса системы частиц.
2.89. Система состоит из двух частиц с разными отношениями е/т. Выразить
ее магнитный момент через полный механический момент L в системе центра
масс. Рассмотреть случай частица-античастица (е2 = -ei, т2 = гщ).
2.90. В возбужденном состоянии атома водорода электрон создает
орбитальный ток
где использованы уже применявшиеся в задаче 2.54 обозначения. Вычислить
магнитный момент орбитального тока.
2.91*. Плотность тока, создаваемая в основном состоянии атома водорода
спиновым8 магнитным моментом электрона, описывается функцией j = (с/е)
rot[p(r)fis], где fis - постоянный вектор, р(г) - объемная плотность
распределения заряда в атоме, не зависящая от углов и экспоненциально
убывающая при больших г. Показать, что магнитное поле в начале координат
равно - (8/3e)7rp(0)//s. Какой магнитный момент создает указанный ток?
2.92. Вычислить магнитное поле в начале координат и магнитный момент,
создаваемые током
в одном из возбужденных состояний атома водорода (сферические
координаты).
2.93. Однородно заряженный эллипсоид вращения (полный заряд е) с
полуосями а, а, b вращается вокруг оси симметрии с угловой скоростью и;.
Вычислить его магнитный момент и магнитное поле на больших расстояниях.
2.94. Тонкий диск радиуса а с равномерно распределенным зарядом е
вращается вокруг своей оси с угловой скоростью и). Вычислить магнитный
момент и напряженность поля всюду на оси диска.
80 спиновых моментах см. ответ к задаче 2.88.
сл ¦ ehr ( 2г\ • а 2 а
3г=3д = 0, За = -Б------------7 ехр ( - 7ГГ ) Sin V cos V,
6 тгтеа V °а/
2.2. Магнитостатика
139
Пример 2.12. Исследовать возможность введения псевдоскалярного потенциала
магнитного поля H(r) = -\7ф(г). На примере квазилинейного замкнутого
проводника с током исследовать роль неодносвязности области определения
ф, получить уравнение и граничные условия для потенциала.
Решение. Представление Н = -\7ф приводит к соотношению rotH = 0 и,
следовательно, согласно (2.54) возможно только в областях, где плотность
тока j = 0. В этих областях из уравнения (2.51) следует уравнение Лапласа
для потенциала:
Аф = 0. (2.62)
Но наличие областей, в которых j ^ Ои потенциал не существует, делает
пространство рис 2 g
неодносвязным и приводит к неоднозначности ф.
Пусть поле создается квазилинейным проводником с током. Выберем
произвольный замкнутый контур, охватывающий проводник с током (рис. 2.9),
и вычислим значение потенциала в точке А после обхода по этому контуру:
Фа = Фа+ ф <1ф.
Если бы ф(г) был однозначной непрерывной функцией координат, то § с1ф =
0. Но фактически
dip = ? Vip ¦ dl = - j> Н ¦ dl = ~J,
I
и, таким образом,
Фа-Фа = ?-^ (2.63)
Последнее соотношение показывает, что ф(г) - неоднозначная функция
координат и после обхода по любому замкнутому контуру, охватывающему
контур с током, приобретает приращение 47rJ/c, где J - полный ток,
протекающий через произвольную поверхность, которая опирается на контур
интегрирования.
Условие (2.63) сходно с граничным условием (2.25) на поверхности двойного
