Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
сопоставить векторный потенциал А = Н х г/2. Удовлетворяет ли он условию
div А = О?
2.70. Внутри тонкой проводящей цилиндрической оболочки радиуса b
находится коаксиальный с ней провод радиуса а. По этим проводникам текут
постоянные токи одинаковой величины J в противоположных направлениях.
Определить магнитное поле Н, создаваемое такой системой во всех точках
пространства. Решить задачу двумя способами: интегрированием
дифференциальных уравнений магнитостатики и с помощью интегральной формы
этих уравнений.
2.71. Определить напряженность магнитного поля Н, создаваемую постоянным
током J, текущим по бесконечному цилиндрическому проводнику кругового
сечения радиуса а. Решить задачу наиболее простым способом - с помощью
уравнения магнитостатики в интегральной форме (2.55), а также путем
введения векторного потенциала А.
2.72. Решить предыдущую задачу для полого цилиндрического проводника
(внутренний радиус а, наружный Ь).
2.73. Прямолинейная бесконечно длинная полоса имеет ширину а. Вдоль
полосы течет ток J, равномерно распределенный по ее ширине. Найти
магнитное поле Н. Проверить результат, рассмотрев предельный случай поля
на больших расстояниях.
2.74. Противоположно направленные токи равной величины J текут по двум
тонким бесконечно длинным пластинам, совпадающим с двумя гранями
бесконечной призмы прямоугольного сечения. Ширина пластин а, расстояние
между ними Ъ. Найти силу взаимодействия на единицу длины /.
2.75. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, создаваемые двумя
прямолинейными параллельными токами J, текущими в противоположных
направлениях. Расстояние между токами 2а.
На = 0 при г ^ а;
На = 0 при г ^ а.
2.2. Магнитостатика
135
2.76. Определить магнитное поле Н, создаваемое двумя параллельными
плоскостями, по которым текут токи с одинаковыми поверхностными
плоскостями г = const. Рассмотреть два случая: а) токи текут в
противоположных направлениях; б) токи направлены одинаково.
2.77. Определить магнитное поле Н в цилиндрической полости, вырезанной в
бесконечно длинном цилиндрическом проводнике. Радиусы полости и
проводника соответственно а и Ь, расстояние между их параллельными осями
d (Ь > а + d). Ток J распределен равномерно по сечению.
2.78*. Найти векторный потенциал А и магнитное поле Н, создаваемые в
произвольной точке тонким кольцом радиуса а с током J. Результаты
выразить через эллиптические интегралы.
УКАЗАНИЕ. Использовать метод решения задачи 2.19.
2.79*. Показать, что если магнитное поле обладает аксиальной симметрией и
описывается в цилиндрических координатах векторным потенциалом с
компонентами Aa(r, z), Ar = Az = 0, то уравнение магнитных силовых линий
имеет вид rAa(r, z) = const.
УКАЗАНИЕ. Рассмотреть поток магнитного поля внутри трубки, образованной
вращением одной из силовых линий вокруг оси симметрии (ср. с решением
задачи 2.49).
2.80. Выразить напряженность Н и векторный потенциал А аксиально
симметричного магнитного поля вне его источников через напряженность
магнитного поля H(z) на оси симметрии.
2.81. Исходя из закона Био-Савара (2.41), показать, что для замкнутого
контура с током J напряженность магнитного поля в некоторой точке
выражается формулой Н = - (J/c) grad Cl, где Cl - телесный угол, под
которым контур виден из этой точки (ср. с задачей 2.47).
2.82*. Доказать теорему единственности решения магнитостатической задачи:
уравнения магнитостатики (2.51), (2.54) и граничные условия (2.57)
определяют напряженность магнитного поля ограниченной в пространстве
системы постоянных токов единственным образом.
2.83. Показать, что магнитное поле бесконечно длинного цилиндрического
соленоида с густой намоткой (п витков на единицу длины, ток J) дается
формулами
47г
Н = -nJez внутри соленоида, Н = 0 снаружи, где ось Oz направлена вдоль
соленоида.
136
Глава 2
УКАЗАНИЕ. Использовать теорему единственности решения магнитостатической
задачи.
2.84. Определить магнитное поле Н на оси конечного соленоида с густой
намоткой, имеющего форму цилиндра. Высота цилиндра h, радиус а, число
витков на единицу длины п, сила тока J.
2.85*. Сфера радиуса а заряжена зарядом е равномерно по поверхности и
вращается вокруг одного из своих диаметров с угловой скоростью со. Найти
магнитное поле внутри и вне сферы.
Пример 2.11. Исходя из интегрального представления векторного потенциала
(2.50), найти его приближенное значение на больших расстояниях от
ограниченной в пространстве системы постоянных токов, занимающих область
размером I. Показать, что с точностью до членов порядка I /г
А(г) = 171 * Г, где т = [ г х j(r) dV. (2.59)
г6 *с J
Вектор т называется магнитным дипольным моментом системы токов.
Решение. Подставив разложение
! ~ I I г •Т'
R f
в (2.50), получим
(1) A{r) = ±J j{r') dV' + J(r • dV'.
Первый интеграл в левой части обращается в нуль, что следует из тождества
а ¦ j(rf) = div'[(a • r')j(r%
где a - произвольный постоянный вектор, а dr/ берется по координатам г' и
