Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
обсуждается в разделе 4.3. См. также задачу 2.117.
154
Глава 2
Нормальная составляющая векторного произведения Е х Н выражается через
касательные компоненты Ет, Нт на поверхности S и обращается в нуль в силу
граничных условий. Поэтому из предыдущего равенства получаем
J (Е2 + Я2) dV = const.
V
Но поскольку Е = Н = 0 при t = 0, то постоянная в правой части равенства
тоже равна нулю. Это возможно лишь если Е = Н = 0 тождественно во всем
объеме. Теорема доказана. ¦
Пример 2.17. Обобщить формулы (2.8), (2.49), связывающие напряженности
поля со скалярным и векторным потенциалами ср, А, на общий случай
электромагнитного поля, зависящего от времени. Указать семейство
потенциалов, описывающих заданное электромагнитное поле Е, Н.
Решение. Из уравнения Максвелла (2.85) следует, что вектор Н является
соленоидальным в самом общем случае и, следовательно, его представление
(2.49) через векторный потенциал сохраняется и для нестационарного поля:
H(r, t) = V х A(r, t). (2.101)
Но формула (2.8) для переменного поля теряет силу, поскольку rotE ф 0 в
общем случае. Обобщение (2.8) мы получим, использовав в (2.82) равенство
(2.101). Меняя последовательность дифференциальных операций, будем иметь
rot(Е + dA/cdt) = 0, откуда следует, что безвихревой вектор, стоящий в
скобках последнего выражения, можно выразить в виде градиента скалярного
потенциала - V(^(r, t). Это дает
E(r, t) = -V<p(r, t)~ldAQt' t}- (2-102)
Заданным напряженностям поля соответствует обширное семейство возможных
потенциалов. Обозначив
А'(г, t) = A(r, t) + Vx(r, t), (2.103)
где x(r, t) - любая дифференцируемая скалярная функция, получим Нг = =
\7х А' = \7хА = Н. Это означает, что преобразование векторного потенциала
(2.103) не изменяет магнитного вектора. Чтобы электрический вектор также
не изменился, необходимо и достаточно одновременно преобразовать
скалярный потенциал:
к ^ ^ 10х(г' *)
<р (г, t) = <p(r, t) - ----.
(2.104)
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле 155
Преобразование потенциалов (2.103), (2.104) называется калибровочным
(градиентным). Таким образом, заданному электромагнитному полю Е, Н
отвечает множество электромагнитных потенциалов А, ср, связанных
калибровочным преобразованием, которые можно получить со всевозможными
функциями x(r, t). ш
Пример 2.18. Вследствие неоднозначности выбора электромагнитных
потенциалов А, (р на них могут быть наложены дополнительные условия.
Наиболее распространены следующие условия калибровки потенциалов:
Получить из уравнений Максвелла уравнения для электромагнитных
потенциалов для случаев калибровок Лоренца и Кулона. В какой мере условия
(2.105), (2.106) ограничивают возможность калибровочного преобразования
потенциалов?
Решение. Подставив в уравнения (2.83), (2.84) напряженности поля (2.101),
(2.102), выраженные через потенциалы, получим систему уравнений
div А + - 0 (лоренцевская калибровка);
div А = 0 (кулоновская калибровка).
(2.105)
(2.106)
с dt
Использовав лоренцевскую калибровку (2.105), найдем
А(р = -47гр - --?;V • А.
(2.107)
(2.108)
Оба потенциала удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера.
При использовании кулоновской калибровки
156
Глава 2
Потенциалы А', ср' будут удовлетворять условию Лоренца (2.105) наряду с
А, ср, если функция х является решением однородного уравнения Далам-бера:
AX-^S=°- (2-111)
с <9г
При кулоновской калибровке функция х должна удовлетворять уравнению
Лапласа. Таким образом, условия калибровки лишь ограничивают класс
функций, участвующих в калибровочном преобразовании. В статических
полях условия Лоренца и Кулона совпадают. ¦
Задачи
2.117. Единственным ли образом определяется плотность потока энергии
электромагнитного поля из уравнения (2.97)? Указать другие выражения,
отличные от (2.98), но совместимые с (2.97), (2.99).
2.118. Шар радиуса а с зарядом е, равномерно распределенным по
объему, вращается с переменной угловой скоростью ft(t) вокруг одного из
своих диаметров. Записать плотности p(r, t), j(r, t), проверить,
удовлетворяется ли уравнение непрерывности (2.47).
2.119. Сделать то же самое для шара, заряженного равномерно по
поверхности.
2.120. Пусть электромагнитное поле разложено на гармонические
составляющие (т.е. в интеграл Фурье (1.250) по времени): и аналогично
вектор Н. Записать уравнения Максвелла для гармоник Фурье. Указать связь
между гармониками Фурье Еи; и Е-ш, а также между гармониками
напряженностей поля и электромагнитных потенциалов.
2.121. Пусть через единичную площадку проходит электромагнитное
возмущение конечной длительности. Выразить спектральную плотность потока
энергии электромагнитного поля Г<^ через гармоники Фурье Еи и Ни.
Величина Г<^ нормирована условием
оо оо
JrLOdio = T=^ J E(t) х H(t) dt,
0 -оо
где Г представляет собой полную плотность потока энергии через единичную
площадку за все время прохождения возмущения.
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
157
УКАЗАНИЕ. При интегрировании по времени использовать представление
