Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
= J pk<pidV = J ^y^^dVdV'. (2.30)
Энергия взаимодействия зависит от обобщенных координат q&\ обеих систем,
определяющих положение и ориентацию заряженных тел. По общим правилам
механики, производная от потенциальной энергии взаимодействия по
координате, взятая с противоположным знаком, определяет силу, стремящуюся
увеличить эту координату:
= 4fc) = -^y- (2-31)
dq" dqf]
Выразим энергию системы зарядов через напряженность электрического поля
Е. Для этого распространим интегрирование в (2.28) на все бесконечное
пространство, поскольку области с р = 0 дают нулевой вклад, и преобразуем
подынтегральное выражение:
РЧ> = -^(di y{fpE) -E-Vv) = ^(di v{tpE) + E2). (2.32)
2.1. Электростатика
123
Интеграл от div (ц>Е) преобразуем по теореме Остроградского-Гаусса:
J div((pE) dV = j) (pE • dS -> 0.
На бесконечно удаленной поверхности, согласно (2.21), потенциал убывает
не медленнее, чем 1/г, а поле Е - не медленнее 1 /г2. Поэтому
поверхностный интеграл обращается в нуль. После подстановки (2.32) в
(2.28) будем иметь
W = ^ J E2dV, (2.33)
где интегрирование производится по всему пространству.
Обратим внимание на возможность различной трактовки выражений (2.28) и
(2.33). В первый интеграл вклад дают только те области, в которых есть
заряды (р ^ 0) и, таким образом, следует считать, что энергия присуща
электрическим зарядам. Вторая формула позволяет интерпретировать энергию
как свойство электрического поля. Энергия присутствует всюду в
пространстве, где Е ^ 0, с объемной плотностью
w = ±Е2. (2.34)
Только вторая трактовка правильно объясняет, как будет ясно из
последующих глав книги, нестационарные электромагнитные явления.
Необходимо также отметить, что выражения (2.27) и (2.28), (2.33)
неэквивалентны. Это становится очевидным - при подстановке в (2.28) и
(2.9) плотности
N
Р(г) = ^2еа5(г -га),
а=1
описывающей систему точечных зарядов. Используя две указанные формулы,
получим
2а^=1\Га~Гь\ 2^| Га-Га{
Здесь только первая сумма, в которой а ^ Ь, соответствует выражению
(2.27), описывающему энергию взаимодействия системы зарядов. Вторая сумма
содержит собственные энергии точечных зарядов. Каждый член в ней
расходится ввиду расходимости кулоновского потенциала при г -> 0.
Очевидная бессмысленность этого результата означает, что классическая
124
Глава 2
электродинамика становится неприменимой на малых расстояниях. Трудность с
расходимостью собственной энергии точечного объекта является
фундаментальной и проявляется не только в классической электродинамике,
но и в современной теории элементарных частиц, основу которой составляют
квантовая механика и теория относительности. На современном этапе
развития науки мы можем находить собственные энергии элементарных частиц
лишь путем измерений. Энергия же их электрического взаимодействия дается
формулой (2.27). При распределении зарядов по объему или поверхности с
конечной плотностью никаких трудностей с определением энергий не
возникает и их можно вычислить согласно (2.28) и (2.33).
Пример 2.8. Система, состоящая из N точечных зарядов, находится во
внешнем поле, источники которого расположены далеко от рассматриваемой
системы (рис. 2.8). Поэтому потенциал внешнего поля в пределах
ограниченной системы протяженностью I изменяется медленно. Вычислить
энергию взаимодействия системы с внешним полем с точностью до
квадрупольно-го члена.
Решение. Записываем энергию взаимодействия через потенциал внешнего поля
в виде (см. (2.30))
N
W = ^2ea(f(R + ra).
а=1
Пользуясь условием гладкости потенциала, разлагаем его в степенной ряд:
lfi{R + г а) И <p(R) + хаа + \хапх% д V
Если в пределах рассматриваемой системы нет источников внешнего поля, то
потенциал (р в этой области удовлетворяет уравнению Лапласа
А (р =
д2(р
дхадхс
= 0.
Это позволяет записать последний член разложения потенциала в виде
2.1. Электростатика
125
Подставляя эти разложения в исходное выражение для энергии, находим
W = qv-p-E+9f^;+... (2.35,
Здесь ср и Е берутся при аргументе R, a q, р, Qa/з представляют собой
мультипольные моменты системы точечных зарядов:
N N N
9 = ^е0, р = ^2еага, Яа0 = '^2еа(3х"х0-г1дар). (2.36)
а=1 а=1 а=1
Разложение здесь производится по отношению I /L размера системы к
масштабу L неоднородности внешнего поля. ¦
Задачи
2.55. Вычислить силу 3* и крутящий момент N, приложенные к диполю с
моментом р во внешнем поле Е.
2.56. Вычислить электростатическую энергию шара с радиусом R и с зарядом
q, распределенным равномерно а) по объему; б) по поверхности;
в) по закону, указанному в задаче 2.12.
2.57. Плоскости двух тонких коаксиальных равномерно заряженных колец
одинакового радиуса R находятся на расстоянии а друг от друга. Работа,
которую надо совершить, чтобы перенести точечный заряд q из бесконечности
в центр каждого из колец, равна соответственно А\ и ^2-Найти заряды q\,
q2 на кольцах.
2.58. Вычислить энергию взаимодействия U электронного облака с ядром в
атоме водорода. Распределение заряда в атоме приведено в задаче 2.15.
