Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
E-dl = -±4- f H-dS = -^ f Щ-dS. (2.80)
cat J с J at
Если интеграл в левой части преобразовать по теореме Стокса в интеграл по
поверхности, то получим
/о
rot Е+ ¦ dS = 0.
с at J
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
149
Наконец, учитывая произвольный выбор поверхности S, получаем
дифференциальное уравнение
югЕ+-Щ = 0. (2.81)
с at
Соотношения (2.80) и (2.81) представляют собой интегральную и
дифференциальную формы закона электромагнитной индукции Фарадея.
Уравнения Максвелла. Дифференциальную форму закона электромагнитной
индукции (2.81) можно рассматривать как обобщение электростатического
уравнения (2.10), rot Е = 0, позволяющее описывать нестационарные
явления. Нетрудно убедиться в том, что и уравнение магнитостатики (2.54)
для rot Н неприменимо для описания явлений, изменяющихся со временем.
Применяя операцию div к обеим частям этого уравнения, получим divj = 0,
что не согласуется с уравнением непрерывности (2.47) в общем случае.
Обобщение уравнений электромагнитного поля, позволяющее на их основе
описывать весьма широкий круг нестационарных электромагнитных явлений,
произвел выдающийся английский физик Д. К. Максвелл в 1860-х годах:
rotE(r, t) = -±dH^t\ (2.82)
rot if (г, t) = \дЕ§ + ^З(г, t), (2.83)
div E(r, t) = 47Гp(r, t), (2.84)
divif(r, t) = 0. (2.85)
Уравнения для дивергенций (2.12) и (2.51) сохранили свой вид и при
описании нестационарных явлений. В уравнение (2.54) Максвеллом был
добавлен член с производной от напряженности электрического поля
1 дЕ п
4n~di' (2М)
который называется током смещения. Он входит в правую часть уравнения
(2.83) в сумме с током j, создаваемым заряженными частицами (током
проводимости), и вместе с ним участвует в создании магнитного поля.
Именно наличие тока смещения позволяет обеспечить сохранение
электрического заряда: применив div к обеим частям (2.83), и использовав
(2.84), получим уравнение непрерывности (2.47). При заданных источниках
поля р
150
Глава 2
и j уравнения Максвелла линейны, что приводит к принципу суперпозиции
полей в вакууме. Электрическое и магнитное поля по отдельности могут
существовать только если они постоянны. Эти случаи были рассмотрены в
разделах 2.1 и 2.2.
Пример 2.14. Показать, что уравнения Максвелла (2.84) и (2.85) можно
рассматривать как универсальные (одинаковые для всех задач) начальные
условия для уравнений соответственно (2.83) и (2.82).
Решение. Применив к обеим частям (2.83) операцию div и использовав
уравнение непрерывности (2.47), получим
(div Е - 47Г р) = 0.
ot
Отсюда следует, что разность div E(r,t) - 4тг p(r, t) не зависит от
времени. Если она равна нулю при t = to, то div Е = Аттр во все моменты
времени. Аналогичный вывод получается для div Н = 0. ¦
На поверхностях, на которых р и j имеют особенности, напряженности поля
должны удовлетворят граничным условиям, вытекающим из интегральной формы
уравнений Максвелла. Поскольку производные dE/dt и dH/dt ограничены
(скорость изменения во времени любой величины конечна), то граничные
условия в общем случае ничем не отличаются от полученных ранее условий
(2.17), (2.18), (2.58) и имеют вид
п х (-Е72 Е\) = 0, (2.87)
п-{Е2-Е1) =4тга, (2.88)
п х (ff2 - Нх) = (2.89)
п (Н2- Нг) = 0. (2.90)
Величины а и i представляют собой поверхностные плотности электрического
заряда и тока соответственно.
Возможны разные постановки электродинамических задач. Наиболее простым
является случай, когда источники поля р и j можно считать заданными, т.
е. распределения зарядов и токов в пространстве и во времени известны
заранее. В этом случае задача сводится к интегрированию системы линейных
уравнений (2.82)-(2.85) с граничными условиями (2.87)-(2.90). Но такая
постановка задачи не всегда возможна, так как очень часто движение
заряженных частиц заранее неизвестно.
В этом случае уравнения Максвелла нужно дополнить уравнениями движения
частиц и решать их совместно. Поскольку координаты и скорости частиц
будут в общем случае сложным образом зависеть от напряженностей
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
151
поля, система уравнений станет нелинейной. Принцип суперпозиции полей не
будет выполняться. Такая постановка задачи, являясь более точной,
оказывается и значительно более сложной.
Системы единиц измерения электрических и магнитных величин.
До сих пор мы пользовались абсолютной гауссовой системой единиц. Она
наилучшим образом подходит для изложения фундаментальных законов, так как
в уравнения Максвелла явным образом входит одна из мировых констант -
скорость света с в вакууме, она же - предельная скорость движения любых
материальных тел, распространения сигналов и взаимодействий (см. главы
3,4). Это облегчает установление связи между электродинамикой и теорией
относительности, специальной и общей.
Наряду с гауссовой системой, в прикладной электродинамике часто
используется так называемая международная система единиц (SI, или СИ). В
указанной системе электромагнитное поле в вакууме описывается четырьмя
