Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
2.2. Магнитостатика
131
должно выполняться условие стационарности, вытекающее из (2.47):
Стационарные (постоянные) токи либо текут по замкнутым контурам, либо
уходят на бесконечность.
Уравнения магнитостатики. Векторный потенциал. Получим дифференциальные
уравнения, которым удовлетворяет напряженность магнитного поля. Для этого
используем закон Био-Савара в форме (2.42) и уравнение непрерывности для
стационарного случая (2.48). Прежде всего замечаем, что из (2.42)
следует:
- векторный потенциал магнитного поля. Если ток течет по
квазилинейному проводнику, векторный потенциал должен вычисляться по
формуле
при любом распределении токов в пространстве. Вектор Н является, таким
образом, соленоидальным. Физический смысл этого условия - отсутствие в
природе магнитных зарядов, аналогичных электрическим7.
Применим теперь операцию rot = V х к обеим частям равенства (2.49). В
правой части равенства появятся div Л и АЛ, поскольку rot rot Л = = grad
div А - А А.
Пример 2.9. Доказать, что для ограниченного в пространстве распределения
токов
div j = 0.
(2.48)
H(r) = rot A(r),
(2.49)
где
(2.50)
(2.50')
Применив к равенству (2.49) операцию div = V-, получим
div Н(г) = 0
(2.51)
div А(г) = 0.
(2.52)
7Некоторые теории элементарных частиц предполагают существование
магнитных монополей, т. е. частиц, имеющих магнитные заряды. Но все
попытки обнаружить их на опыте пока не увенчались успехом.
132
Глава 2
Решение. Вносим оператор V под знак интеграла, меняя порядок
дифференцирования по г и интегрирования по dV', и пользуемся тождеством
X7R = - V'i?, где R = \г - г'\. Получаем с помощью (2.48)
v j(r') = V' -j(r') _ j(r') = , j(r')
R R R R
В результате имеем
div A = -- /V • 3^- dV = -- <f 3-^- -> 0.
c J R с J R
Soo
Обращение в нуль интеграла по бесконечно удаленной поверхности требует,
чтобы плотность тока на больших расстояниях убывала быстрее, чем г-1.
¦
Пример 2.10. Получить неоднородное дифференциальное уравнение для
векторного потенциала А путем непосредственного применения оператора
Лапласа к интегралу (2.50).
Решение. Вносим оператор Лапласа, действующий на координаты г, под знак
интеграла и пользуемся тождеством (1.225). Получаем уравнение Пуассона
A A(r) = (2.53)
Использовав (2.53), а также (2.52), находим из (2.49)
rot H(r) = ^j(r). (2.54)
Уравнения магнитостатики для напряженности поля (2.51), (2.54) и для
векторного потенциала (2.53) являются более общими, чем конкретные
интегральные выражения (2.42) и (2.50), из которых они получены. На
основе дифференциальных уравнений можно решить более широкий круг задач и
представить решения в формах, отличных от (2.42), (2.50). В некоторых
случаях более удобной является интегральная форма уравнений для поля Н:
j)H-dS = 0, j H-dl = ^fj. (2.55)
S I
Эти уравнения выводятся точно так же, как соответствующие уравнения для
электростатического поля. В первом уравнении S - произвольная замкнутая
поверхность, во втором I - произвольный замкнутый контур. Ток J -
2.2. Магнитостатика
133
это полный ток, который протекает через произвольную поверхность,
опирающуюся на замкнутый контур I. Поэтому второе уравнение (2.55) иногда
называют теоремой о полном токе. Первое уравнение означает, что магнитный
поток через любую замкнутую поверхность равен нулю.
Векторный потенциал А является вспомогательной величиной, через которую
выражается согласно (2.49) наблюдаемая физическая величина -
напряженность магнитного поля. Поэтому векторный потенциал определяется
неоднозначно - заданному полю Н соответствует целое семейство векторных
потенциалов, отличающихся на градиент произвольной дифференцируемой
скалярной функции:
A'(r) = A(r) + Vx(r). (2.56)
Поскольку V х V% = 0, то векторные потенциалы А и А' представляют одну и
ту же напряженность магнитного поля Н.
Граничные условия. На поверхности, где плотность тока испытывает скачок
или обращается в бесконечность, на нормальные и тангенциальные компоненты
поля должны быть наложены некоторые граничные условия. Они выводятся
точно так же, как граничные условия для электростатического поля. Но
поскольку уравнения магнитостатики отличаются от уравнений
электростатики, то отличаются и граничные условия:
н2п - н1п = 0, Я2т - Я1т = Щ-iv (2.57)
Направления ортов n, v, т указаны на рис. 2.3. Величина iv = lim jvh -
h->0
плотность поверхностного тока. Она отлична от нуля, если в тонком слое
течет ток конечной силы. Такой слой можно рассматривать как бесконечно
тонкую поверхность, на которой должны быть выполнены условия (2.57). Оба
условия можно записать и в векторной форме:
n-(H2-Hi) = 0, п х (Н2 - Н{) = Щ-i. (2.58)
Задачи
2.67. Может ли электрический ток с объемной плотностью j(r) = = j о cos
(к • г), где j0, к - постоянные векторы, обеспечить стационарное (не
зависящее от времени) распределение зарядов в пространстве?
134
Глава 2
2.68. Найти распределение в пространстве электрического тока, создающего
магнитное поле
2.69. Показать, что однородному и постоянному магнитному полю Н можно
