Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
(1.219) дельта-функции.
2.122. Электромагнитное поле разложено на плоские волны, т. е. в
интеграл Фурье (1.252) по трем координатам:
Здесь интегрирование производится по всему безграничному пространству
координат и по всему пространству волновых векторов к. Записать уравнения
Максвелла для пространственных гармоник Фурье.
2.123. Показать, что компоненты Фурье разложения безвихревого вектора
на плоские волны параллельны к (продольны), а компоненты Фурье
соленоидального вектора - перпендикулярны к (поперечны).
2.124. Разложить по плоским волнам потенциал ср(г) и напряженность
поля Е(г) неподвижного точечного заряда е.
2.125. Электромагнитное поле разложено на плоские монохроматические
волны, т. е. в интеграл Фурье по трем координатам и по времени:
Записать уравнения Максвелла для гармоник Фурье.
2.126. Записать уравнения Даламбера и условие Лоренца для компонент
Фурье потенциалов ip(r, t), А (г, t). Рассмотреть все три варианта
разложений Фурье (2.112), (2.113) и (2.114).
Свободное электромагнитное поле. Важнейшим свойством уравнений Максвелла
является возможность существования электромагнитного поля в отсутствие
источников, т. е. при р = j = 0. Система уравнений в этом случае
приобретает вид
(2.112)
E{r, t) = -±- f Еше^к -г~^) d3k(kv, (2тг) J
Еш = j E(r, t)e~^k -r-ut) d3rdt
(2.113)
(2.114)
(2.115)
(2.116) (2.117)
div E(r, t) = 0, div H(r, t) = 0.
158
Глава 2
Она имеет разнообразные ненулевые решения волнового типа, некоторые из
которых мы рассмотрим ниже. Именно это свойство уравнений позволило
Максвеллу предсказать новый важный физический эффект: возможность
существования и распространения со скоростью света электромагнитных волн
в свободном пространстве. Это привело к окончательному установлению
электромагнитной природы света, позволило раскрыть в дальнейшем связь
между электромагнитными и оптическими явлениями. Теоретические открытия
Максвелла и его последователей стимулировали экспериментальное изучение
электромагнитных волн. Наибольшее значение в этом плане имели
исследования немецкого физика Г. Герца, который в 1888 г.
экспериментально доказал существование электромагнитных волн,
предсказанных теорией Максвелла, измерил их скорость и изучил
разнообразные волновые явления (интерференцию, дифракцию, поляризацию).
Основываясь на работах Герца, русский физик А. С. Попов и итальянский
физик, инженер и предприниматель Г. Маркони в 1890-х годах осуществили
первые передачи радиосигналов, положившие начало современным радио,
телевидению и мобильной телефонии. За свои открытия Маркони получил
Нобелевскую премию в 1909 г.
Пример 2.19. Из системы (2.115)-(2.118) вывести уравнения II порядка,
которым удовлетворяют векторы Е и Н по отдельности.
Решение. Применяем к (2.115) операцию rot и используем уравнение (2.116),
а также тождество (1.83) и уравнение (2.117). Получаем волновое
уравнение, или однородное уравнение Даламбера:
Аналогичным путем получаем такое же уравнение для магнитного поля:
2.127. Путем перехода к переменным ? = х - ct, rj = х + ct показать,
что волновое уравнение (2.119) имеет одномерное решение вида
(2.118)
(2.119)
Задачи
Е(х, t) = EiF(x - ct) + Е2Ф(х + ct),
2.3. Уравнения Максвелла. Свободное электромагнитное поле
159
где Е\, Е2 - постоянные векторы, F, Ф - произвольные дважды
дифференцируемые функции одного аргумента. Каков физический смысл этого
решения? Как его записать в такой форме, чтобы поверхность постоянной
фазы (плоскость, на которой Е сохраняет постоянное значение) была
перпендикулярна заданному единичному вектору п!
2.128. Пользуясь уравнениями Максвелла (2.115)-(2.118), показать, что
плоские волны, рассмотренные в предыдущей задаче, удовлетворяют условиям
поперечности
п • Е = 0, п • Н = 0. (2.120)
Показать также, что в плоских волнах, распространяющихся в одну сторону,
электрический и магнитный векторы взаимно перпендикулярны и связаны
соотношениями
Н = пхЕ, Е = Нхп, Е = Н. (2.121)
Найти связь между плотностью электромагнитной энергии и плотностью потока
энергии (вектором Пойнтинга) в таких волнах.
2.129*. Плоскую монохроматическую13 волну удобно описывать комплексными
функциями
Е = Е0е^к ' r ~ Н = Н0е^к'г (2.122)
понимая под физическими значениями полей действительные части этих
функций. Здесь Ео, Но - постоянные векторы (комплексные амплитуды),
величины си (круговая частота) и к (волновой вектор) - действительные
постоянные (при распространении волн в вакууме).
а) Показать, что частота и волновой вектор плоской монохроматической
волны в вакууме связаны дисперсионной зависимостью14 си2 = с2к2, а
амплитуды удовлетворяют условиям Но = п х Ео, Ео = -п х Яо, где п = к/к -
единичный вектор, определяющий направление перемещения плоскости
постоянной фазы cp(r, t) = к • г - cot = const.
б) Показать, что расстояние между соседними максимумами электрического
или магнитного полей в направлении п равно длине волны А = 2тт/к.
в) Показать, что среднее по периоду Т = 2тг/и колебаний значение
