Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
конца такие разделы физики, как теория электромагнитных явлений, механика
жидкостей, газов и твердых тел, квантовая физика и квантовая теория поля.
Градиент и производная по направлению. Векторные линии.
С понятием градиента скалярной функции мы знакомимся при изучении свойств
потенциальных сил в классической механике. Пусть существует
дифференцируемая функция U(x, у, z), такая, что ее частные производные
равны компонентам вектора F(x, у, z), который в этом случае называется
потенциальным:
называется градиентом скалярной функции U(ж, у, z). Необходимые и
достаточные условия представления вектора в виде градиента скалярной
функции имеют вид равенств
(1.55)
где
(1.56)
векторный оператор Гамильтона (набла). Вектор
grad U(x,y,z) = WU(x,y,z) = ex^ + ev^ + ez^
(1.57)
dFx = dFy dF\L=dF? 0FZ 0FX
dy dx ' dz dy dx dz
(1.58)
Они следуют из равенства перекрестных производных
дх ду ду дх
d2U д2и _________________________
п о = о о И Т. Д.
Мы используем пока только декартовы координаты. Обобщение на
криволинейные неортогональные координаты будет сделано в последней части
этого раздела (см. также задачи 1.50 и следующие).
1.2. Векторный и тензорный анализ
31
Важно понять, что градиент направлен всегда в сторону возрастания U по
нормали к поверхности постоянного значения скалярного поля [/(ж, ?/, z) =
const. Это следует из того, что при дифференцировании последнего
равенства получим dr -VU = 0. Поскольку здесь dr направлен по касательной
к поверхности U = const, градиент перпендикулярен этой поверхности.
Пример 1.4. Показать, что производная от скалярной функции по
направлению, определяемому единичным вектором I, равна проекции градиента
на это направление:
Решение. Обозначим производную вдоль заданного направления I через dU/dl.
При смещении из точки с радиусом-вектором г на расстояние 5 вдоль
направления I функция примет значение U(x-\-lxs, у+ lys, z + lzs).
Производная в заданном направлении - это производная по 5:
Выражение (1.59) имеет смысл и в применении к произвольному вектору А(х,
у, z): величина (I • V)A(x, у, z) представляет собой производную от
вектора А в направлении I. Это следует из того, что оператор (7 • V)
должен быть применен к каждой проекции А и даст соответствующую
производную, а их совокупность будет иметь смысл производной от всего
вектора в заданном направлении.
Наглядное представление о структуре векторного поля А дают векторные
линии - это такие линии, касательные к которым в каждой точке показывают
направление вектора А в этой точке. Нетрудно записать систему уравнений,
из которой можно найти векторные линии заданного поля А(х, у, z). Условие
параллельности малого элемента dl = (dx, dy, dz) векторной линии и
вектора А можно записать в виде Axdl = 0. Записав это векторное равенство
в проекциях на соответствующие оси, получим дифференциальные уравнения
для двух семейств поверхностей, линии пересечения которых и представляют
собой искомые векторные линии. Например, в декартовых координатах будем
иметь
^ = grad; U=(l- V)U.
(1.59)
dx_dy dz
(1.60)
Ax(x,y,z) Av(x, у, z) Az(x, у, z)'
32
Глава 1
Векторные линии любого потенциального вектора перпендикулярны
поверхностям равного потенциала С/(ж, у, z) = const. Это следует из
свойств градиента скалярной функции.
Важным свойством обладает контурный интеграл от скалярного произведения
потенциального вектора на векторный элемент длины контура:
в в
J F • ds = J {Fx dx + Fy dy + Fz dz), (1-61)
A A
где вектор ds имеет составляющие dx, dy, dz, т. e. дифференциалы
координат не независимы, а представляют собой приращения вдоль контура.
Такими интегралами выражается работа силы F над материальной точкой,
которая движется по заданной траектории от А до В, и многие другие
физические величины. Если вектор - потенциальный, то
Fx dx + Fvdy + Fz dz = -Щ- dx - Щ- dy - dz = -dU (1.62)
ox oy oz
- полный дифференциал функции U(ж, у, z). Вычисляя интеграл, получаем
в в
J F -ds = - J dU = Ua-Ub, (1.63)
А А
В
где dU - приращение функции на малом отрезке ds, f dU - полное при-
А
ращение на пути АВ. В этом случае интеграл вдоль контура не зависит от
пути, а только от начальной и конечной точек интегрирования (рис. 1.4).
Интегрируя вдоль замкнутого контура (рис. 1.5), будем иметь:
Рис. 1.4
В А
J F-ds = UA-UB, J F-ds = UB-UA,
А В
В А
F ¦ ds = J F-ds + J F-ds = 0. (1.64)
Интеграл по замкнутому контуру от F -ds называется циркуляцией вектора F
вдоль контура. Циркуляция потенциального вектора вдоль любого
1.2. Векторный и тензорный анализ
33
замкнутого контура равна нулю (но произвольный вектор таким свойством не
обладает!).
В
Важно отметить, однако, что условие А
представления вектора в форме (1.55) яв- ^
ляется необходимым, но недостаточным для справедливости равенств (1.63),
(1.64). Тре- Рис- 15
буется еще, чтобы потенциальная функция U(г) была однозначной функцией
точки. В противном случае, например, после обхода замкнутого контура и
