Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 7

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 225 >> Следующая

1.1. Векторная и тензорная алгебра
19
различны, А(!) ф А(2) ф А(3), хотя возможны и кратные корни Ad) = = А(2)
либо AW = А(2) = А(3).3
В случае различных корней, подставляя по очереди в систему (1.26)
найденные значения А" А(2), А(з) выражаем две проекции каждого из
(1) / (2) / (3)
векторов Па # Па # Па через третью, которую можно определить, задав
нормировку. Удобно считать векторы единичными: = 1 и т. д. Все
три проекции действительны вследствие действительности коэффициентов
уравнения (1.26).
Для доказательства взаимной перпендикулярности и п^ пишем
на основе (1.26) два равенства
П^ТарП^ = А(1)(П(1)П(2)), П^ТарП^ = А(2) (п(2)п(1))
и, вычитая их почленно, находим
(#-А(2))(п"пИ)=0,
откуда для неравных главных значений, А^1) - А^2) ^0, получаем условие
перпендикулярности = 0.
В случае двух кратных корней (А^1) = А^2)) из трех уравнений системы
(1.26) только одно независимое, а два других - его следствия. Поэтому
гг/1) и п(2) определяются неоднозначно - в плоскости, перпендикулярной
п(3\ можно выбрать любую пару взаимно перпендикулярных направлений.
Наконец, при равенстве всех трех главных значений любое направление в
пространстве является главным, поэтому любые три взаимно перпендикулярные
оси можно принять за главные направления.
Важным свойством главных направлений является то, что тензор принимает
диагональную форму,
/А^ 0 0 \
Т = 0 А*2) 0 , (1.28)
V 0 о А(зу
если оси координат совместить с главными направлениями. Это видно из
записи уравнений (1.26) в главных осях, в которых = (1,
0, 0), п^ =
= (0, 1, 0), п<3> = (0, 0, 1). в этом случае имеем из
(1.26) Tf, = А(1),
T2i = тк = 0 и т. д.
3Индексы, написанные сверху в скобках, не являются тензорными значками!
Из тензорной размерности правой и левой частей уравнения (1.27) следует,
что величины Л - инварианты при вращениях системы координат.
20
Глава 1
Задачи
1.24. Можно ли путем поворота системы координат в физическом трехмерном
пространстве привести к диагональному виду произвольный действительный
тензор II ранга (Тар ^ Тра)? Эрмитов тензор II ран-
га СГЬ = ТЬа)?
1.25. Записать действительный симметричный тензор II ранга Sap в
произвольной системе координат через его главные значения А", А(2), а(3)
и орты главных направлений.
1.26. С помощью характеристического уравнения (1.27) составить инварианты
относительно вращений из компонент произвольного тензора II ранга Тар.
1.27. Использовав теорему о разложении определителя по элементам
некоторой строки или столбца, найти компоненты обратного тензора Т~р,
определение которого совпадает с определением обратной матрицы (1.11).
Указать условие существования обратного тензора.
1.28. Доказать тождества:
a) CqcP^Gfxvcr --- $OLfJL$Pv$^<J H- $OLV$P<j$~flL H- ^OLCT^PfJL^V
$av>$P/i^ja $a/i$ Perfidy $a<j$Pv> ^7/i, -
*0,(1 0(3(1 0^(1
&OLV $Pv $асг $P<j djcr
6) ^aP'y^av'cr - $Pv>$ 70- $P<j$^v> -
(r)) ^olP^^olPct - 2?7cr,
r) ^olP^olP^ - 6.
^Pv O'yv
(1.29)
С помощью соотношения б) доказать формулу векторной алгебры "бац минус
цаб":
А х [В х С] = В(А • С) - С(А • В).
1.29. Записать в инвариантной векторной форме;
*0 &aP^&aGK&^V?&K(jj?ApA.(jBv(J(jJ , б)
€'OiP^€'P<JHi€'^V?€'Hi(j0?A<jApBpBo,C(jjCv.
1.30. Показать, что
ТарАаВр - ТарАрВа = 2С • (А х В),
1.1. Векторная и тензорная алгебра
21
где Та/з - произвольный тензор II ранга, А и В - векторы, С - вектор,
дуальный антисимметричной части Тар.
1.31. Представить произведение (А - (В х С))(А' • (Bf х С')). В виде
суммы членов, содержащих только скалярные произведения вектора.
УКАЗАНИЕ. Применить теорему об умножении определителей или
воспользоваться псевдотензором еа/з7.
1.32. Показать, что единственным вектором, компоненты которого
одинаковы во всех системах координат, является нулевой вектор; что всякий
тензор II ранга, компоненты которого одинаковы во всех системах
координат, пропорционален 5ар; тензор III ранга - еа/з7; тензор
четвертого ранга Н- Н- ^ av^ (3 fjb) •
1.33. Пусть п - единичный вектор, все направления которого в про-
странстве равновероятны. Найти средние значения его компонент и их
произведений: па, папр, папрп7, пользуясь трансформационными
свойствами искомых величин, а не прямым вычислением соответствующих
интегралов.
1.34. Найти усредненные по всем направлениям значения следующих
выражений: (an)2, (ап)(Ьп), (ап)п, (а х п)2, (а х п)(Ь х п),
(an)(bn)(cn)(dn), если п - единичный вектор, все направления которого
равновероятны, а, Ь, с, d - постоянные векторы.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться результатами предыдущей задачи.
1.35. Составить все возможные независимые инварианты из полярных векторов
п, гг/ и псевдовектора I.
1.36. Какие независимые псевдоскаляры можно составить из двух полярных
векторов п, гг/ и одного псевдовектора I? Из трех полярных векторов П1,
П2, пз?
Ковариантные и контравариантные компоненты. Во многих проблемах физики
необходимо использовать неортогональные и криволинейные системы
координат, когда зависимость между старыми и новыми координатами
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 6 < 7 > 8 9 10 11 12 13 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed