Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
исходной и преобразованной систем;
б) построить матрицу обратного преобразования;
в) показать, что эти же матрицы осуществляют преобразования векторов
взаимного базиса;
г) найти правила преобразования ковариантных и контравариантных
компонент произвольного вектора;
д) найти правила преобразования ковариантных и контравариантных
компонент метрического тензора.
1.38. Указать закон преобразования векторов исходного и взаимного оазисов
при отражении системы координат.
1.39. Выразить скалярное произведение двух векторов А В в трех различных
формах: через ковариантные и контравариантные компоненты, а также через
те и другие. Доказать его инвариантность относительно преобразования
(1.36) системы координат.
Рассматриваемое преобразование не обязательно сводится к повороту
косоугольной системы как целого. Оно может изменить углы между осями и
масштабы координат.
1.1. Векторная и тензорная алгебра
25
Выразить в разных формах квадрат расстояния dl2 между двумя близкими
точками.
1.40. Записать векторное произведение двух векторов С = А х В через
ковариантные и контравариантные компоненты векторов-сомножителей.
1.41. Записать косинус угла между векторами А и В через их ковариантные и
контравариантные компоненты.
Тензоры в криволинейных неортогональных системах координат.
Перейдем к рассмотрению произвольных преобразований, когда переход
совершается от декартовой к некоторой криволинейной и, вообще говоря,
неортогональной системе координат [Борисенко и Тарапов (1966), раздел
2.8] или между криволинейными неортогональными системами. Связь между
координатами ха и х'@ (а, [3 = 1, 2, 3) двух координатных систем задается
некоторыми соотношениями общего вида
Ха = fa(xn,x,2,x'3) (1.37)
(номера координат теперь указываем верхними индексами). Аффинному
преобразованию (1.36) соответствует линейная однородная функция
fa(xn,x,2,x'3) с постоянными коэффициентами. Повороту ортогональной
прямолинейной системы координат отвечает ортогональная матрица
коэффициентов с единичным определителем.
Чтобы можно было разрешить (1.37) относительно х'@ и найти обратное
преобразование
Х/(3 = ^(х1, х2, ж3),
требуется отличие от нуля функционального определителя
J =
дха
дх'Р
7^0,
(1.38)
что в дальнейшем и будет предполагаться. Дифференциалы координат
преобразуются по правилу
дх°
dxa =
дх'Р
dxf(3,
(1.39)
где коэффициенты преобразования дха/дхв общем случае становятся функциями
координат. Связь между дифференциалами осталась, как и в случае аффинных
преобразований, линейной, тогда как связь между самими координатами
таковой, вообще говоря, не является.
26
Глава 1
Если (1.37) описывает переход от ортогональной декартовой системы
координат ха к произвольной системе q@ (мы для ясности в дальнейшем будем
обозначать криволинейные координаты через q), то квадрат расстояния между
близкими точками с помощью (1.0) и (1.39) запишется в виде
dl2 = 5ар dxa dx& = dqм dqy, (1-40)
где величины
= WW5-11- <Ы1)
Quis = называются ковариантными компонентами метрического тензора. Его
контравариантные компоненты определяются
условиями
= (1.42)
означающими, что тензоры д^и и д^у взаимно обратны. Поскольку
коэффициенты преобразования (1.39) удовлетворяют соотношениям
(|43)
dqP dxv dxv
то контравариантные компоненты метрического тензора можно записать в
виде5
ар =
9 дха дхк 1'
Последнее соотношение, как и (1.41), можно рассматривать как правило
преобразования метрического тензора для декартовых координат (5ак) к
произвольным криволинейным координатам qa. Нетрудно установить, что те же
правила действуют при преобразовании метрического тензора из одной
криволинейной системы qa в другую q
9 дх" dxv dqa dq8
где gaf3 определен согласно (1.44).
Нетрудно убедиться, что записанные выше соотношения во многом повторяют
формулы, которые были получены при рассмотрении косоугольной
5Тензоры ёци, , 54 относятся к прямоугольной декартовой системе
координат, и для
них контравариантные и ковариантные компоненты совпадают, а расположение
значков без-
различно.
1.1. Векторная и тензорная алгебра
27
(аффинной) системы координат, представляя собой их некоторые обобщения.
Например, домножая обе части (1.39) на декартовы орты е^ и пере-обозначая
х'@ через получим приращение радиуса-вектора
dr = еИ dxa = ^е<?> dq0 = ер dq0, dq13
откуда следует, что базисные векторы ер (в общем случае не единичные)
криволинейной системы можно записать в виде
е" = ge(r)>. (1.46,
В правую часть последнего равенства входят ортогональные единичные
декартовы орты. Связь между базисными векторами криволинейных систем
координат qffl и , как следует из (1.46), имеет тот же вид, что и (1.46):
dq°
dqf(3
еР = TT7Ze<*- О-47)
Определим, далее, векторы взаимного базиса криволинейной системы. Из
(1.46) и условий (1.30) имеем
е"'е*= Vе" •'&) = *"• <Ы8>
откуда следует
доа
= 0-49)
(мы пользуемся равноправием нижних и верхних значков для декартовых
ортов). Наконец, пользуясь (1.41) и (1.44), убеждаемся, что для
