Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
криволинейных координат остаются в силе соотношения (1.34):
9а0 = еа-е0, да0 = еа-е0, д0 = еа ¦ е0 = S0 (1.50)
и правила подъема и опускания индексов (1.35).
Теперь дадим определение тензора относительно общих преобразований
координат.
Тензор II ранга в трехмерном пространстве - это девятикомпонентная
величина, контравариантные компоненты которого преобразуются как
произведения дифференциалов координат, т. е. по правилу
т""=э^Мт<"" либо т," = (151)
dq ^ dq v dqa dq0
28
Глава 1
Это определение непосредственно обобщается на тензор любого ранга. Так,
скаляр S не преобразуется, а ковариантные компоненты тензора I ранга
(вектора) преобразуются по правилу
dqf f3
Аа = (1.52)
Принципиальное отличие данного выше определения тензора от предыдущих
(для случаев поворота и аффинного преобразования) состоит в том, что
теперь коэффициенты преобразования зависят от точки. Это означает, что
определение тензора носит локальный характер. В частности, произведения
компонент векторов, взятых в разных точках qa j- ра, т.е. Aa(q)BP(p), не
образуют тензора. Совокупность произвольных криволинейных координат qa, а
= 1, 2, 3, в отличие от декартовых не образует вектора, так как
координаты не подчиняются правилу преобразования (1.51). Эти особенности
наиболее существенно проявляются в операциях дифференцирования и
интегрирования тензоров, которые рассматриваются в разделе 1.2.
Ковариантные компоненты тензора любого ранга получаются из
контравариантных с помощью метрического тензора согласно (1.35).
Смешанный тензор Та@ в общем случае зависит от того, какое место - первое
или второе - занимают верхний и нижний значки, т.е. Та@ / Т@а. Операция
свертки, уменьшающая ранг тензора на два, определяется как суммирование
по одному верхнему и одному нижнему значку, например
АаВа = А'рВ'13 = inv, Taf30 = Ca (1.53)
- ковариантный вектор, и т. д.
Задачи
1.42. Выразить компоненты метрического тензора через компоненты
ортогональных декартовых ортов е^ = е?Dy а = 1, 2, 3, которые заданы в
некоторой криволинейной системе координат.
1.43. Показать, что функциональный определитель (1.38) выражается через
определитель метрического тензора д = \д^ \: J = у/д.
УКАЗАНИЕ. Исходя из равенства (1.42), выразить определитель д через
определители матриц, стоящих в правой части равенства.
1.44. Записать квадрат длины вектора А2 и косинус угла между двумя
векторами в произвольной криволинейной системе координат.
1.1. Векторный и тензорный анализ
29
1.45. Преобразовать единичный антисимметричный тензор еа@7 в
криволинейную систему координат.
1.46. Известен метрический тензор дар, определяющий квадрат малого
элемента длины в криволинейных неортогональных координатах согласно
формулам (1.40). Через каждую точку пространства можно провести три
криволинейные координатные линии, вдоль каждой из которых изменяется
только одна координата q1, q2 или q3, а остальные две остаются
постоянными.
а) Найти связь между элементом длины координатной линии и
дифференциалом соответствующей координаты.
б) Указать три базисных вектора, касательных к координатным кривым в
заданной точке.
в) Найти косинусы углов между координатными кривыми в данной точке.
г) Указать, какими свойствами должен обладать метрический тензор,
чтобы криволинейная система была ортогональной.
1.47. Записать ковариантные и контравариантные компоненты метрического
тензора для сферической и цилиндрической систем координат (см. рисунок в
ответе к задаче 1.18). Записать также векторы ковариантного и
контравариантного базисов, выразив их через базисные орты,
рассматривавшиеся в задаче 1.18.
1.48. Показать, что элемент объема в криволинейных координатах имеет вид
dV = л/д dq1 dq2 dq3, (1-54)
где д - определитель метрического тензора. Вычислить элемент объема в
сферических и цилиндрических координатах.
УКАЗАНИЕ. Искомый элемент объема представляет собой объем косоугольного
параллелепипеда, построенного на элементарных длинах d/1, dl2, dl3
криволинейных осей координат. Для его вычисления можно использовать
результаты задач 1.40,1.46.
Рекомендуемая литература: Борисенко и Тарапов (1966), [Курбатова и
Филиппов (1998)], [Арфкен (1970)], [Кочин (1951)], [Рашевский (1953)],
[Ли (1965)], [Мэтьюз и Уокер (1972)].
См. также [Угаров (1977), приложение I].
1.2. Векторный и тензорный анализ
Скалярные или векторные функции, изображающие распределение различных
физических величин в трехмерном пространстве, подчас называют
30
Глава 1
полями соответствующих величин. Так, можно говорить о поле температур
Т(ж, у, z) или давлений р(х, у, z) в атмосфере, поле скоростей движущейся
жидкости или газа и(х, у, z), электромагнитном векторном поле и т. д.
Производные и интегралы от таких скалярных и векторных функций обладают
некоторыми общими математическими свойствами, очень важными для
физических приложений. С этими свойствами нужно познакомиться и усвоить
их заранее. Только в этом случае можно будет успешно изучить и понять до
