Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Батыгин В.В. -> "Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория" -> 6

Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.

Батыгин В.В., Топтыгин И.Н. Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория: Учебное пособие — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 736 c.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка): sovremennayaelektrodinamikat12002.pdf
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 225 >> Следующая

1.9. Указать правило преобразования совокупности объемных интегралов Тар
= f хахр dV при поворотах и отражениях (ха, хр - декартовы координаты).
1.10. Показать, что компоненты антисимметричного тензора II ранга Аар = -
Ара можно отождествить с компонентами некоторого вектора Са, так как они
преобразуются одинаково при вращениях. Са в этом случае называете
вектором, дуальным тензору Аар.
УКАЗАНИЕ. Использовать единичный антисимметричный тензор (1.21).
1.11. Доказать равенства:
а) [Ах В]а = еа/з\А0В\
А! А2 Аз
б) [А х В] ¦ С = еа/з\АаВдС\ = Вг В2 в3
Ci С*2 С3
Как преобразуются векторное, двойное векторное и смешанное произведения
при поворотах и отражениях, если все три вектора - полярные?
1.12. Показать, что если в некоторой системе координат соответствующие
компоненты двух векторов пропорциональны, то они пропорциональны и в
любой другой системе координат. Такие векторы называются параллельными.
1.13. Пусть площадь элементарного параллелограмма, построенного на малых
векторах dr и dr'; изображается вектором dS, направленным по нормали к
плоскости параллелограмма и по абсолютной величине равным этой площади.
Записать dSa в тензорных обозначениях.
1.14. Записать в тензорных обозначениях объем dV элементарного
параллелепипеда, построенного на малых векторах dr, dr', dr". Как он
преобразуется при вращениях и отражениях?
1.1. Векторная и тензорная алгебра
17
1.15. Доказать тождества:
(А х В) • (С х D) - (А ¦ С)(В • D) + (A - D)(B ¦ С) = О,
(А х В) ¦ (С х D) + (В х С) ¦ (А х D) + (С х А) ¦ (В х D) = О,
А х (В х С) + В х (С х А) + С х (А х В) = О, (А х В) х (С х D) - В(А ¦ [С
х D}) + А{В ¦ [С х D]) = О,
(А х В) х (С х D) - С{А ¦ [В х D}) + D{A ¦ [В х С}) = 0.
(1.24)
1.16. Два направления пип/ определяются в сферической системе координат
углами v, а и v', а'. Найти косинус угла е между ними.
1.17. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент
вектора использовать его циклические (комплексные) компоненты,
определяемые формулами
А± 1 = t2-1/2(Ai ± гА2),
Ао = А3. 1 J
Выразить скалярное и векторное произведения двух векторов через их
циклические компоненты. Выразить также циклические компоненты радиуса-
век-тора через шаровые функции2 Jle- \N
жандра.
Рис. 1.2
1.18. Составить матрицы преобразования базисных ортов: при переходе от
декартовых координат к сферическим и обратно; при переходе от декартовых
координат к цилиндрическим и обратно.
1.19. Записать матрицу 7) преобразования компонент вектора при повороте
декартовой системы координат вокруг оси хз на угол а.
1.20. Найти матрицу 7) преобразования компонент вектора при повороте
координатных осей, определяемом углами Эйлера ai, 0, а2 (рис. 1.2), путем
перемножения матриц, соответствующих поворотам вокруг оси хз на угол ai,
вокруг линии узлов ON на угол 0 и вокруг оси х'3 на угол а2.
Определение шаровых функций приведено в разделе 1.3 (см. ответ к задаче
1.118).
18
Глава 1
1.21. Найти матрицу D(a\6a2), с помощью которой преобразуются циклические
компоненты вектора (1.25) при повороте координатной системы, которой
задан углами Эйлера cki, 0, OL2 (рис. 1.2).
1.22. Показать, что матрица бесконечно малого поворота координат а может
быть записана в виде а = 1 + е,, где е - антисимметричная матрица (ба/з =
~?(3а)- Выяснить геометрический смысл еар.
1.23. Показать, что представление малого поворота вектором 5(р,
использованное в решении предыдущей задачи, возможно только с точностью
до величин I порядка малости. В следующем порядке вектор результирующего
поворота не равен сумме векторов отдельных поворотов, а соответствующие
матрицы не коммутируют.
Главные значения в инварианты симметричного тензора II ранга.
Большое практическое значение имеет вопрос о выборе такой системы
координат, в которой некоторый тензор имеет наиболее простую структуру.
Рассмотрим выбор такой системы для тензора II ранга.
Если вектор п удовлетворяет условию
TapTLp = Хпа, (1.26)
где А - некоторый скаляр, то направление, определяемое вектором п,
называется главным направлением тензора, а А - его главным значением.
Пример 1.1. Показать, что действительный симметричный тензор II ранга
имеет не менее трех взаимно перпендикулярных главных направлений и не
более трех вещественных главных значений. Указать способ вычисления тех и
других.
Решение. Пусть Та0 = Т/За И T*af3 = Та0. Докажем действительность главных
значений этого тензора. Не предполагая заранее, что вектор па -
действителен, запишем на основе (1.26) два равенства:
п\Тарпр = А п*апа, паТ*арп*р = А *пап*а.
Ввиду равенства их левых частей равны и правые части, т. е. А = А*.
Для вычисления возможных значений А рассматриваем (1.26) как систему
линейных однородных уравнений относительно неизвестных ni, П2, П3. Для
совместимости уравнений следует приравнять нулю определитель системы:
\Та/3 - \аа/3\ = 0. (1.27)
Это - алгебраическое уравнение 3-й степени относительно А, имеющее
решением три вещественных корня А^\ А^2\ А^3\ В общем случае они
Предыдущая << 1 .. 2 3 4 5 < 6 > 7 8 9 10 11 12 .. 225 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed