Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
возвращения в точку А потенциал U может принять другое значение, и
равенство (1.64) нарушится.
1.49. Показать, что оператор Гамильтона (1.56) при повороте декартовой
системы координат преобразуется по правилу (1.2) преобразования вектора.
1.50. Найти потенциальную энергию, отвечающую силе Fx(x, у) = = х + у,
Fy(x, у) = х - у2. Вычислить работу R этой силы между точками (0, 0) и
(а, Ъ).
1.51. Показать, что оператор Гамильтона V в цилиндрической и сферической
системах координат выражается соответственно в виде
Для этого рассмотреть элементарные длины в направлении соответствующих
координатных ортов и воспользоваться формулой (1.59), связывающей
градиент с производной по направлению.
1.52. Воспользовавшись декартовыми, сферическими и цилиндрическими
координатами (см. (1.56), (1.65), (1.66)), вычислить grad(Z-r), (/• V)r,
где г - радиус-вектор, I - постоянный вектор.
Задачи
(1.65)
(1.66)
1.53. Показать, что grad/(г) =
1.54. Записать систему уравнений, определяющих векторные линии,
соответственно в цилиндрических и сферических координатах.
34
Глава 1
1.55. Вычислить
grad ^ \ р = const.
г6
1.56. Пользуясь сферическими координатами, построить семейство линий,
касательных к вектору
" 3(р • г)г п
Е = ----------------р = const.
1.57. Записать циклические компоненты градиента в сферических
координатах. Определение циклических компонент дано в условии задачи
1.17.
Дивергенция и ротор. Интегральные теоремы. Рассмотрим теперь действие
векторного оператора V на произвольный вектор А. Как мы знаем, из двух
векторов можно составить произведения двух типов: скалярное
dwA = V-A=^ + ^ + ^ = ^ (1.67)
ОХ оу OZ оха
и векторное
rot А = V х А = е
dAz дАу \ / дАх dAz \ (дАу дАх
ду dz ) \ dz дх ) \ дх ду
(1.68)
Обе эти величины играют важнейшую роль в векторном анализе и носят
название дивергенции (скаляр!) и ротора (вектор!). В левых частях
равенств приведены их буквенные обозначения. В правых частях указаны их
явные выражения, которые имеют приведенный вид только в декартовых
координатах. Чтобы лучше осознать их математический и физический смысл,
рассмотрим прежде всего другие определения этих важных величин, менее
формальные и более наглядные, хотя и несколько более сложные. Но
последний недостаток искупается тем, что определения, о которых пойдет
речь, в отличие от (1.67), (1.68), не зависят от выбора системы
координат. Начнем с дивергенции.
Выберем точку М, в которой мы хотим определить дивергенцию векторного
поля А(г). Окружим эту точку замкнутой гладкой поверхностью S, внутри
которой заключен некоторый объем AV, и определим в каждой
1.2. Векторный и тензорный анализ
35
точке поверхности внешнюю нормаль п. Векторным элементом поверхности dS
будем называть произведение п dS. Интеграл по замкнутой поверхности § А •
dS дает поток вектора А через поверхность S. Дадим теперь
s
определение дивергенции (по-русски - расходимости), отличное от (1.67):
divA(r) = lim -^r-p&A-dS. (1-69)
v J av ->o AV I
Здесь предполагается, что объем AV стягивается в точку М; кружок на знаке
интеграла означает замкнутую поверхность.
Пример 1.5. Убедиться в том, что определения (1.67) и (1.69) при
использовании декартовых координат эквивалентны. Для этого выбрать объем
AV = dV = dx dy dz в виде малого прямоугольного параллелепипеда с ребрами
dx, dy, dz и вычислить предел (1.69).
Решение. Воспользовавшись малостью граней параллелепипеда, запишем
приближенное выражение для поверхностного интеграла:
j) A - dS " [Ах(х + dx, у, z) - Ах(х, у, z)\ dydz+
+ [Ау (х, у + dy, z) - Ау (х, у, z)\dx dz+
+ [Az(x, у, z + dz) - Az(x, y, z)\ dxdy "
fdAx dAy QAz
dx dy dz
dV.
При оценке интегралов по шести отдельным граням использована теорема
о среднем, величины х, у, z - это значения координат в некоторой
точке соответствующей грани. Учтено также, что нормаль имеет
противоположные направления на противоположных гранях, а при стягивании
объема в точку М все координаты принимают значения, соответствующие этой
точке. Используя последний результат, убеждаемся, что определение
дивергенции (1.69) при использовании декартовых координат приводит к
формуле (1.67). ¦
Таким образом, дивергенция в некоторой точке отлична от нуля, если
существует ненулевой поток вектора через малую замкнутую поверхность,
окружающую данную точку. Внутри поверхности должен существовать источник
векторного поля, создающий поток. Поэтому дивергенция характеризует
плотность источников поля.
36
Глава 1
Примененный выше прием вычисления интеграла по малой поверхности можно
использовать для получения явных выражений дивергенции в наиболее
употребительных сферических и цилиндрических, а также и в других
координатах. Следует выбирать форму объема каждый раз таким образом,
чтобы на каждой из его боковых поверхностей оставалась постоянной одна из
координат.
Пример 1.6. Основываясь на определении дивергенции (1.67), вывести
соотношение, связывающее интеграл от div А по некоторому объему с потоком
