Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
вектора А через поверхность, ограничивающую рассматриваемый объем.
Решение. Выберем произвольный конечный объем V, ограниченный гладкой
замкнутой поверхностью S. Разобьем его на малые ячейки A Vi, каждая из
которых ограничена соответствующей поверхностью A Si. У ячеек,
примыкающих к внешней поверхности S, часть ограничивающих их поверхностей
будет совпадать с S. Все остальные участки поверхностей Si будут общими
для двух соседних ячеек. Пользуясь малостью каждой из ячеек,
воспользуемся соотношением (1.69), придав ему приближенную форму
Просуммируем теперь левую и правую части последнего приближенного
равенства по г и перейдем к пределу, устремляя объем каждой ячейки к
нулю, а их число - к бесконечности. Левая часть равенства перейдет при
этом в интеграл по полному объему V от дивергенции A: f div A dV. В
правой
части равенства интегралы по внутренним участкам поверхностей Si взаимно
сократятся, так как внешние нормали для двух соседних ячеек имеют прямо
противоположные направления. Останется лишь интеграл по внешней
поверхности S, которая ограничивает полный объем V. В итоге мы получим
точное интегральное соотношение
(1.70)
v
(1.71)
которое называется в русскоязычной литературе теоремой Остроградского-
Гаусса (в западных изданиях фамилия Остроградского опускается). ¦
1.2. Векторный и тензорный анализ
37
Теорема Остроградского-Гаусса применима к любому тензору ранга s ^ 1,
например:
J^rdV = fTa^dS" (L72)
У S
(доказательство см. в задаче 1.70).
Ротор (вихрь) векторного поля допускает определение, аналогичное
определению (1.69) дивергенции. Задаем в точке М некоторое направление
единичным вектором п. Построим маленькую плоскую площадку AS, содержащую
точку М и перпендикулярную п, и определим направление обхода по
ограничивающему эту площадку контуру I, согласованное с направлением п
правилом правого винта. Проекция ротора на направление п в точке М
определяется следующим образом:
rotnA= lim -г^ ф А • dl, (1-73)
as^o Ad J
i
где интеграл представляет собой циркуляцию вектора А вдоль замкнутого
контура I.
Пример 1.7. Убедиться в том, что определения ротора (1.68) и (1.73) в
случае декартовых координат эквивалентны. Для этого вычислить проекции
ротора на декартовы оси, воспользовавшись (1.73) и выбирая площадку в
виде прямоугольника со сторонами, параллельными координатным осям.
Решение. Направим п вдоль оси 0z и выберем прямоугольную площадку AS = dS
= dx dy. Используя, как и при вычислении выше интеграла по поверхности,
теорему о среднем, получим
j) А • dl ~ [Ау(х + dx, ?/, z) - Ау(х, у, z)] dy-\-
+ [Ax(x, у, z) - Ay(x, у + dy, z)\ dx "
'9Ay dAa
dx dy
dS.
Подставив этот результат в (1.73) и перейдя к пределу, получим точное
выражение для rotZA в декартовых координатах, совпадающее с (1.68).
Аналогичным образом можно найти другие проекции вихря. Вихрь будет
отличен от нуля, если линии вектора А закручиваются - имеют замкнутую или
спиралеобразную форму. ¦
38
Глава 1
Пример 1.8. С помощью определения вихря (1.73) вывести интегральное
соотношение, связывающее циркуляцию произвольного вектора вдоль
замкнутого контура с потоком вихря этого вектора через незамкнутую
поверхность, опирающуюся на контур.
Решение. Определим произвольную трехмерную незамкнутую поверхность S,
ограниченную контуром I, ив каждой точке поверхности нормаль п. Разделим
поверхность на малые части AS г, каждая из которых ограничена контуром
Для каждой такой площадки можно записать на основе (1.73) приближенное
соотношение
Суммируя обе части приближенного равенства по г и переходя к пределу
бесконечно малых площадок, получаем точное равенство (теорему Стокса):
В правой части остается интеграл по внешнему контуру, ограничивающему
поверхность S. Все интегралы по внутренним контурам сокращаются. Теорема
Стокса связывает интеграл от потока ротора через поверхность с
циркуляцией вектора вдоль контура, ограничивающего эту поверхность.
Соленоидальные и потенциальные (безвихревые) векторы. Пусть векторное
поле Н(г) во всем пространстве удовлетворяет условию
(вектор Н в этом случае называется соленоидальным). Таким свойством
обладает, например, магнитное поле. Можно доказать (мы этого делать не
будем), что условие (1.76) необходимо и достаточно для того, чтобы вектор
Н можно было представить в виде вихря другого вектора А(г)\
Легко убедиться с использованием правил векторного дифференцирования, что
условие (1.76) выполняется при любом А:
(1.74)
U
(1.75)
s
div Н = О
(1.76)
Н = rot А.
(1.77)
divH = V • Н = V • [V х А] = [V х V] • А = 0.
1.2. Векторный и тензорный анализ
39
Потенциальным вектором, как уже отмечалось выше, называется вектор,
представимый в форме градиента некоторой скалярной функции:
E(r) = - grad U(r) ее -VC/(г). (1.78)
Необходимыми и достаточными условиями потенциальности вектора являются
равенства вида (1.58), которые в векторной форме дают
rotE = 0. (1.79)
Используя определение потенциального вектора (1.78) и выражая операцию
