Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
притягивается. Заряд, находившийся вначале в среде с большим ?,
отталкиваясь от границы, стремится уйти на бесконечность. Заряд,
находившийся сначала в среде с меньшим ?, притягивается к границе,
пересекает ее и затем, будучи уже в другой среде, отталкиваясь от границы
удаляется на бесконечность. (Сказанное будет справедливо только в том
случае, если пренебречь силой чтения, действующей на заряд со стороны
среды.)
Приведенное значение силы F можно получить разными способами: а)
рассматривая взаимодействие двух точечных зарядов q' и qб) вычисляя силу,
действующую на точечный заряд со стороны вязанных зарядов, находящихся на
границе раздела диэлектриков; в) с помощью тензора натяжений Максвелла. В
последнем случае удобно рассмотреть натяжения, приложенные либо к
плоскости раздела диэлектриков, либо к поверхности малой сферы,
окружающей заряд.
145. Fi = е.х ~?2 . • +-------------
?i(ei + ?2) 4 a2 2(ei + е2)а
= ?2 - Sl _ J2_ + Q1Q2
?2{?i + ?2) 4 a2 2(ei + е2)а2 '
Неравенство сил, действующих на заряды q\ и <72 объясняется тем, что эти
заряды сами по себе не образуют замкнутую механическую систему; имеются
еще связанные заряды на границе раздела диэлектриков. Векторная сумма
сил, приложенных к этой границе и к зарядам q\ и 92, равна нулю, как и
должно быть.
146. Если положить в металле <р = 0, то в диэлектрике <р = q/?r\ -
- q/?r2 (см. рис. 10: заряд q в точке А, заряд -q в точке В; ?\ = ?,
?2 = оо). Член -q/?T2, обусловленный наведенным зарядом проводника и
связанными зарядами диэлектрика, имеет такой вид, как если бы он описывал
поле точечного заряда -q/?, находящегося в точке с координатой z = -а.
Заряд -q/? называется изображением заряда q/? относительно плоскости 2 =
0 (множитель 1/е учитывает влияние диэлектрика).
_ 9" ^ <72
2-кг3 ' 4а2? '
где г - радиус-вектор в плоскости z = 0.
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
271
147. Поле внутри двугранного угла создается системами зарядов,
изображенными на рис. 57.
Рис. 57
148. Пусть диполь находится в точке (0,0, z). Если проекции диполь-ного
момента р на оси х, у, z равны psina, 0, р cos а, то проекции его
изображения р' на те же оси будут -psina, 0, р cos а.
(р • ру - 3(р. р)(р' ¦ г) = __pj_(1 + ^ I
2 ?Г5 16z2? '
F = -+ cos2 а), Ма = -Щ^.
16z4? ' 16z3?
При любой ориентации р диполь притягивается к плоскости. Вращательный
момент N стремится установить диполь вдоль положительного или
отрицательного направления оси z (а = 0,7г). Момент N = 0 также и при а =
но это положение равновесия неустойчиво.
149. Введем полярные координаты, выбрав полюс в центре сферы и ось z ||
Eq. Потенциал можно искать в виде ряда по полиномам Лежандра
'Множитель ^ в выражении U возникает благодаря тому, что поле Е'
дипольного момента р' пропорционально р. При увеличении р на dp (и
неизменной ориентации) энергия
р j
взаимодействия возрастает на dU = - Е' dp, откуда U = f dU = --(Е' • р)
(ср. с решением
о *
задачи 166).
272 Глава III
(ср. с решением задачи 153). Окончательный результат:
ЗбГо
(pi =---"-ЕогсовтЭ при г < а,
?1 + ze 2
ip2 = -Eorcosd + ?l ?2 До a3 co^ при г > a.
?l + л?2 Г
Внутри шара получается однородное электрическое поле, напряженность
которого
" 3?2 е, (>Ео при ?2 > ?1,
lh 1 = ------?/л S
?1 + 2?2 ^ <-^0 При 62 < ?1-
Вне шара на внешнее однородное поле .Ео накладывается поле электрического
диполя, момент которого
p-?oa iT+2^-
Это вторичное поле вызвано связанными зарядами на поверхности
диэлектрического шара:
= h ' ejV S2E° C°S = °'
Легко понять причину такого распределения зарядов, представив себе каждый
малый элемент поляризованного диэлектрика в виде элементарного диполя.
150. Для диэлектрика с неизменной поляризацией Е = (см.
задачу 104).
Для обычного диэлектрика
ДЕ =-------------------Р.
(2?+1)(?-1)
151. ip = -Е0 • г + 5-Е (г ^ Д),
Г
где р = Д3Ео, R3 - поляризуемость шара;
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
273
152. Силу F, приложенную к заряду q, можно найти, помножив q\ на
напряженность поля, созданную вторым зарядом <72 в полости, где находится
<7i. Так как полость мала, поле в ней будет однородным с напряженностью,
равной
ЪеЕо Zq
где Е0 =
еа
Отсюда
2е + 1 (2г + 1)а2'
однородное поле в окрестности полости.
F =
Zq2
(2е + 1 )а
Эта сила отличается от той, которая действовала бы между такими же
зарядами в однородном жидком диэлектрике с тем же значением е (см. задачу
140). Если бы мы аналогично задаче 140 попробовали найти силу,
приложенную к плоскости симметрии, то получили бы при учете только
максвелловых натя-
2
жений значение силы F\ = --, отличающееся
еа
как от силы F, приложенной к самому заряду, так и от полной электрической
силы натяжений (не учтен стрикционный член, имеющий сложный вид в случае
твердого тела). Такая же сила будет действовать на любую область
диэлектрика, охватывающую полость с заключенным
в ней зарядом. Часть этой силы
при-
(2е + 1)а2
ложена к точечному заряду q, другая часть F' =
