Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
эквивалентен некоторому псевдовектору (см. задачу 25) и, в силу
доказанного выше свойства вектора, его компоненты не зависят от системы
отсчета только тогда, когда они равны нулю. Поэтому рассмотрим
симметричный тензор Sik-
Выберем систему координат, в которой Sik имеет диагональный вид X^Sik-
Если AW не равны друг другу, то компоненты тензора будут зависеть от
выбора осей, т. е. от того, какой цифрой (1,2 или 3) обозначена данная
ось. Только при А^1-* = А^2-* = А^3) = А компоненты тензора не будут
зависеть от выбора осей. При этом тензор будет иметь вид XSik, что и
требовалось доказать.
246
Глава I
32. Искомые средние значения равны соответствующим интегралам:
щ<К1, щпк = Jщпк<К1... (1)
Однако вместо прямого вычисления интегралов в этой задаче удобнее
применить другой метод, основанный на использовании трансформационных
свойств рассматриваемых величин. Очевидно, что величины щ, щЩ и т. д.
являются тензорами соответственно I, II, III, IV рангов. С другой
стороны, из их определения (1) следует, что эти величины должны быть
одинаковыми в любой системе отсчета. Поэтому они будут выражаться через
такие тензоры, компоненты которых не зависят от выбора системы отсчета.
Рассмотрим с этой точки зрения щ. Поскольку нет вектора, кроме нулевого,
компоненты которого не зависели бы от системы отсчета (см. задачу 31), то
щ = 0.
Тензор щпк должен выражаться через симметричный тензор II ранга,
компоненты которого одинаковы во всех системах отсчета. Таким тензором
является только 5цс. Поэтому можно написать
щйк = AJifc. (2)
Для определения Л свернем1 тензор по двум значкам:
гцщ = п2 = 1 = ЗА, А =
О
Рассуждая аналогичным образом, найдем
щпкщ = 0,
ЩПкЩПщ = "Ь $il$km "Ь ^im&kl)¦ (3)
33. |а2, |a-b, |a, |а2, |a b; jij[(a • b)(c • d) + (a • c)(b • d) + (a
• d)(b • c)].
34. n • n', (n x n') • 1.
35. n • 1, n' • 1, ni • (П2 x Пз).
1 Под операцией свертывания тензора понимается суммирование тензора
по двум одинако-
вым значкам.
§ 2. Векторный анализ
247
§2. Векторный анализ
36. ^±1=Т^^(^± + ?^±±-!-Л.)г у/2 \ or г ov г sin 17
да)
V0 = costf|-- sin,? д
dr г дд'
37. divr = 3, rotr = 0, grad(l • г) = 1, (1 • V)r = 1.
38. rot(u> x г) = 2ш.
41. gradyj(r) = jjy/;1 divy?(r)r = 3ip + гip'; roty?(r)r = 0; (1 •
V)<p(r)r = lip +
42. ip(r)
const
r3 '
43. div(r • a)b = a • b, rot(r • a)b = a x b, div(a • r)r = 4(a • r),
rot(a- r)r = a x r, div (a x r) = 0, rot(a x r) = 2 a, div ip(r)( a x r)
= 0,
rot<p(r)(a x r) = (2ip + пр')a - ^j^-ip', div г x (a x г) = -2(a • r),
rot г x (a x г) = 3(r x a).
44. gradA(r)r = A+?(r-A'), gradA(r)-B(r) = ?(A'-B + A-B'),
div ip(r)A(r) = ^r( r-A) + ^(r-A'), rotip(r)A(r) = y(rxA) + ^(rxA'), (1 •
V)ip(r)A(r) = b?(ip'A + ipA').
45. - grad^^-3^ = rot(P * проекции этого вектора на базисные орты ег, е#,
еа равны соответственно
Зр cos {) psin {)
0.
Векторные линии образуются пересечением двух семейств поверхностей: а =
С\, г = С2 sin2 д, а также особое решение д = 0,7г.
'Здесь и далее в этом параграфе штрихом обозначено дифференцирование по
г.
248 Глава I
47.
(ДЛ)Г = AAr - \Ar - J-(sint?A,) - 22 q^Q,
г г sin t? 017 г sin 1? оа
/Л _ д л A# , 2 дАг 2cost? дАа
r2sin2t? г2 М г2 sin2 t? да'
(ДА) = АА Аа I 2 дАг 2cost? дА*
( )а а г2 sin2t? г2 sint? 9а + rWtf 9а '
48.
(ДА) - АА - -И-2^дАа (дл;г - длг ^ ^ да ,
(ДА) - АА - - + - ^L
(АЛ)а - АЛа ^ + г2 да,
(AA)Z = ДЛг.
49. /(grad у? • rot A) dV = /(А х grad у?) dS = ftprotAdS.
50. Здесь, как и в ряде других случаев, удобно рассмотреть скалярное
произведение интеграла на произвольный постоянный вектор с:
с • ?г(а • n) dS = j>(с ¦ т)ап dS = jdiv[(c • г)а] d.V
(а ¦ с) у d.V = (а • с)У.
Поскольку с - произвольный вектор, то отсюда следует, что, /(а • п)г dS =
= aV. Таким же способом получим /(а • г)п dS = aV.
51. / mpdS = f grad <pdV, /(n x a)dS = f rota dV,
f(n ¦ b)adS = f(V ¦ b)adV = f(b • V)adV + f a(div b) dV.
55. Используя метод задачи 50, получим <f ipdl = f(n x grad <p) dS, n -
орт нормали к поверхности.
56. /(grad и x grad /) • n dS.
61. aM + f; 6M + Blntg|; в)А + Ва.
62. a) A + В In г; б) A + Ва; в) A + Bz.
§ 2. Векторный анализ
249
64.
х = ±
У = ±
z = ±
(? + о2)("? + а2)(С + а2)
(62 - а2) (с2 - a2)
-(е + 62)(77 + 62)(С + 62)-|2
. (с2 - 62)(a2 - 62) J '
'(^ + с2)(77+с2)(С+с2)1 2
. (а2 - с2)(Ь2 - с2) J 5
(1)
,, л/(€ - "?)(€ - О ,, V(v - 0(v - О L л/(С - ^)(С - "7)
= -----------^-5---------------, /12 = ----------7ГБ--------------.
"3 = ~
2R(
Д =
(С - ч)(? - 0(ч - С)
acv %ас/
где Ru = л/(и + а2)(и + b2)(u + с2).
Из формул (1) видно, что каждой тройке значений ?, г], соответствуют
восемь троек х, у, z.
Убедиться в ортогональности эллипсоидальной системы координат можно,
найдя grad?, grad 77, grad? и составив скалярные произведения grad?-
grad?7 и т.д., которые оказываются равными нулю, grad ?, grad 77, grad С
можно найти непосредственно из уравнений, определяющих ?, 77, ?, беря
градиент от обеих частей каждого из этих уравнений и используя (1).
