Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
среды, в которой малость свободного пробега обеспечивается частыми
столкновениями частиц друг с другом. Но гидродинамическое приближение
можно применять и для списания движения бесстолкновительной (разреженной)
плазмы поперек сильного магнитного поля. Роль длины свободного пробега в
этом случае играет радиус циклотронного вращения частиц вокруг магнитных
силовых линий.
Уравнения магнитной гидродинамики для несжимаемой проводящей жидкости
можно записать в следующем виде:
& + (V. V)V = -Iv(p+ g) + jL(H . V)H + 2Ду, (XIV-7)
f = rot[vxH] + ^AH, (XIV.8)
div v = 0, (XIV.9)
div H = 0. (XIV. 10)
Здесь v(r, t) - гидродинамическая (усредненная) скорость движения
вещества; р = const - его плотность; р - давление; <т - проводимость; г]
- коэффициент вязкости.
Плотность тока и электрическое поле в движущейся жидкости могут
быть найдены из уравнения Максвелла rot Н = и закона Ома, который в
движущейся среде принимает вид
j = <r(E + ivxH). (XIV.11)
При очень высокой проводимости (<т -> сю) последний член в уравнении
(XIV. 8) играет малую роль, и оно принимает вид
Щ = rot[v х Н]. (XIV. 12)
Силовые линии магнитного поля в этом случае "вморожены" в вещество: при
движении вещества они движутся вместе с находящимися на них частицами
вещества. Поэтому магнитный поток через любой контур, перемещающийся
вместе с жидкостью, остается постоянным.
238
Глава XIV
Если проводимость низкая или скорость v мала, то в уравнении (XIV.8)
можно пренебречь членом rot[v х Н], и оно примет вид (VII. 12).
При больших частотах изменения поля становятся существенными процессы
разделения зарядов в плазме и токи смещения. Диэлектрическая
проницаемость плазмы в пренебрежении потерями электромагнитной энергии
имеет вид
е{ш) = 1 - wp/w2, (XIV.13)
где величина ______
(XIV. 14)
(п - концентрация электронов, е и тп - их заряд и масса) называется ленг-
мюровской частотой, или частотой плазменных колебаний. Она характеризует
частоту колебаний электронов относительно ионов. Такие колебания
возникают при любом разделении зарядов в плазме (см. задачу 871).
Корректное описание плазмы в случае быстропеременных полей производится с
помощью уравнений Максвелла и кинетического уравнения Больцмана,
рассмотрение которого, однако, выходит за рамки этой книги.
860*. Вязкая несжимаемая проводящая жидкость движется между двумя
неподвижными параллельными плоскостями в направлении оси г
под действием постоянного градиента давления ^ = const. Проводимость
жидкости а, коэффициент вязкости т), расстояние между плоскостями 2а.
Перпендикулярно плоскостям в направлении оси х приложено постоянное и
однородное внешнее магнитное поле Но. Вычислить зависимость скорости
жидкости от х и добавочное магнитное поле, возникающее в движущейся
жидкости. Проанализировать результат для больших и малых значений Но.
861. Вязкая несжимаемая жидкость находится между параллельными
плоскостями х = ±а. Плоскость х = -а движется со скоростью -Vo, а
плоскость х = а - со скоростью vo в направлении оси 2. Градиент давления
отсутствует, электропроводность жидкости а и коэффициент вязкости т)
заданы. Перпендикулярно плоскостям приложено однородное магнитное поле
Но. Вычислить скорость жидкости и добавочное магнитное поле в ней.
862. Вдоль цилиндрического столба горячей плазмы, радиус которого а,
течет ток У, распределенный по сечению с плотностью j(r). Как зависит от
г давление плазмы, если оно уравновешивается магнитным давлением,
создаваемым текущим вдоль столба током?
Пусть плазма является изотермической и удовлетворяет уравнению состояния
идеального газа. Выразить силу тока J через температуру Т плазмы
§ 2. Коллективные движения в плазме
239
и полное число N частиц одного знака, приходящихся на единицу длины
столба плазмы. Вязкостью пренебречь, рассмотреть стационарное состояние
плазмы с v = 0.
863. Как должен быть распределен ток по сечению плазменного столба (см.
условие предыдущей задачи), чтобы давление плазмы было постоянным по
сечению?
864. Плазма испускается изотропно во все стороны с поверхности шара
радиуса а, вращающегося вокруг своего диаметра с постоянной угловой
скоростью Q. Скорость плазмы v постоянна по величине и направлена по
радиусу. Вблизи поверхности шара существует магнитное поле, которое в
системе, вращающейся вместе с шаром, имеет значение Н(а, •&, а) = =
Но($,а), где а отсчитывается в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Плотность энергии плазмы велика по сравнению с плотностью энергии
магнитного поля, так что влиянием поля на движение плазмы можно
пренебречь. Предполагая магнитное поле вмороженным в плазму, найти его
зависимость от координат и времени в области г > а в неподвижной системе
отсчета1.
865. Найти вид силовых линий межпланетного магнитного поля в модели
Паркера, рассмотренной в предыдущей задаче. Определить величину
магнитного поля и угол в между силовой линией и радиальным направлением
на орбите Земли, задавшись следующими значениями параметров: радиус
