Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
65. z = ±
¦(^ + с2)(г? + с2)
(Z + a2)(V + a2)
hl = iУр, ft2 = 13^=4
2 Re
2 Rr, '
а2-с2 /13 =
где = V(? + a2)(? + c2), R^ = у/(т) + a2)(-r) - с2);
250 Глава I
," = И*Г' ^ = r'
гдe = у/ЩТ^Ш+Щ, Дс = V(C + a2)(-C-ft>);
i, _j, ___ a l _ c sin ту t
07. ft* -Я,- chc_co8rj, Па- ^_C0S7?.
(chg- COST?)3 Г а / X g\
a2 L0?Vch?-cos7?0?/
+ 1 Э / sin V д \ +___________________________1_ЭЦ
sinT) dr)\ ch? - cost? dr]) sin2 ^(ch^ - cost?) да2 У
68. Поверхности p = const - тороиды:
(y/x2 + y2 -acthp)2 + z2 = (-^) ; поверхности ? = const - сферические
сегменты:
(z - arctgO2 + x2 + y2 = (-^|)2;
K = hz = ha= aShp
ch p - cos ? ' " ch p - cos ?'
Глава II
ПОСТОЯННОЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
69. <р\ = - 2nz2, ~Ei\ = -Anpzez (\z\<
4>2 = ~\irpa{4\z\-a), E2 = -2npa-^ez (|z| > |).
Ось z направлена по нормали к поверхности плиты.
70. ip{x, у, z) = 4^°-- cos ах cos /Зу cos 'yz.
ос + p + 7
71. При z > 0: <p = ^^-e~Xz sin ax sin/Зу;
при z < 0: ip = ?2I?2.eXz sin ax sin/Зу, A = ^/a2 + /?2.
A
Экспоненциальное убывание потенциала вдоль оси z объясняется тем, что
плоскость содержит разноименно заряженные участки.
72. Самый простой метод решения - с помощью электростатической теоремы
Гаусса. При решении методом интегрирования уравнения Пуассона необходимо
воспользоваться выражением оператора Лапласа цилиндрической системе
координат и использовать тот факт, что вследствие симметрии системы ip
зависит только от г.
При объемном распределении заряда:
г
R
J^fdr = - 2*ln^, Е2 = ^ (r>R).
Ч>2
г
При поверхностном распределении заряда ipi = 0, <fi2 = -2х\п
it
252
Глава II
73. ip = - 2xlnr, E = где x - заряд на единицу длины. Произвольная
постоянная в потенциале выбрана так, что ip = 0 при г = 1.
z - а + \/(z- а2) + х2 + у2
z + а + y/(z + а)2 + х2 + у2
75. Введем обозначения
Z1 = Z + a, Z2 = za, Г1,2 = yjx2 + у2 + z\ 2,
Из результата предыдущей задачи следует, что
I €\ С 1. 4.
+ г2 = 2aQ _ I = const
*i + Ti
Z2+r2'
(1)
(нужно учесть, что zi - z2 = 2a).
Равенство (1) показывает, что эквипотенциальные поверхности представляют
собой эллипсоиды вращения, фокусы которых совпадают с концами отрезка.
г±_
2 R2
76. vlW = ?(!-J±). Е, = § (г<Л);
Ыг) = I
е2 =
qr
77. Vi(r) = J, Е1=0 (г < R);
Mr) = h Е2 = ^ (г > R).
Г
78. Электрическое поле в полости однородно:
_ 4 4 , . 4
Е = - 7грг - - 7гр(г - а) = дТгра.
79. <7 = 47га(Дг - i?i); Я
Ei = 0, ipi Е2
д2
In - при г < Д1;
R2 - Ri Ri
(R2-Ri)r2'
ч>2--
R2 - Ri
E3 = 4-; (рз = ~ при r > i?2. г
Постоянное электрическое поле в вакууме 253
При Дг ~> -Ri = й и фиксированном значении заряда q, получаем поле сферы,
равномерно заряженной по поверхности.
80 W = - W = - W =_________________-___________q2Rl___In - - соот-
8U. W 5д > w 2Д' Ra-Ri (Д2-Д!)2 Ri
ветственно для распределений зарядов, указанных в задачах 76, 77 и 79.
R оо
Из сравнения вкладов в энергию W, выражаемых интегралами / и f
о я
видно, что большая часть энергии поля локализована вне распределения
заряда (83% в случае шара, заряженного по объему).
.Г ОО
81. ip(r) = -у- f p(r')r'2 dr* + 47Г f р{г*)г* dr';
0 r
E (r) = ^fp(r')r'2dr'. r 0
83. Поле электронного облака в атоме:
<ре(Г) = -^( 1-е-Т)+^е-Т;
Потенциал полного электрического поля в атоме
<p(r) = <Pe(r) + JT-
84. Напряженность поля максимальна на поверхности ядра:
Ешх = ~W = 6,4 1018 ^2/3 в/СМ'
85. Воспользоваться тем, что плотность а поверхностно распределенного
заряда может быть записана в виде
p(r, 1?, а) = <г( 1?, а)5(г - а).
86. 9i,2 = д^Д2 + а2 + a2Al 2 _ RA2 iy
да
-1 2е0 -2П
" + Чге " •
а*
254
Глава II
87. ,p=jl(y/W+7-\z\); Ex - Еу = О, Ея
= 2Q_(_z_______
Д2Чг| VR2 + z*'
где z - координата точки наблюдения, отсчитываемая от плоскости диска.
Рис. 48
88. Если положительно заряженное полукольцо занимает область х > О
р2 I ~2
в плоскости ху, то при х, у ^- получаем, разлагая подынтегральную
it
функцию в интеграле / dl в ряд:
<Р =
AqRx
3 '
тг(Л2 + г2)2
откуда
Ех = -
Е,- 0,
7г(Л2 + г2)2
7г(Л2 + г2)2
Постоянное электрическое поле в вакууме 255
При z R получается поле электрического диполя, момент которого направлен
по оси х и равен ^qR.
89. Вследствие симметрии системы потенциал <р не будет зависеть от
азимутального угла а, поэтому можно без нарушения общности провести
плоскость xz через точку наблюдения. Тогда (рис. 48)
Г12 = у/г2 + R? - 2rR sin д cos а'
и "
<р(г,4) = 2xR [ , da> ,
J \/г2 + R2 - 2rRsin-d cosa'
ГДСХ 2kR
0 я
Произведя подстановку а' = тг - 2(3 и введя обозначение ^2
____________________________4гД sin д______
\/г2 + R2 + 2гД sin д' получим
7Г
<р(т,4) = , 4хД - / , Ф = 2кх К{к). Vr2 + R2 + 2rRsm,d J \J\ - к2sin2(3
VrRsintf
90. а) ю = 9 , где z - расстояние от плоскости кольца до точки
y/R2 + z2
наблюдения.
б) <Р = т ¦
в) Обозначив через г' расстояние от точки наблюдения до нити кольца,
получим при г' <С R:
1 - А:2 и К(к) = 1п^, и i/?(r) = -2хIn г'+ const,
как и должно быть в случае линейного заряда.
91. tpi = 4^<7orcosi9 (г ^ R),
