Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
добавить слагаемое -^[F х Н], а в правую часть (XTV.2) - член (F • h). еН
Уравнения (XTV.2) и (XTV.3) позволяют найти изменение полной энергии
частицы во времени:
|К2) = е( Е - h)vn.
(XTV.4)
Из них следует также, что
р\/Н = const,
(XTV.5)
232
Глава XIV
т. е. величина I = р\/Н является интегралом движения. Но это не точный, а
приближенный интеграл движения, обусловленный малостью электрического
поля и медленностью изменения магнитного поля. Такие приближенные
интегралы движения называются адиабатическими инвариантами.
Уравнения (Х1У.1)-(Х1У.З) являются приближенными уравнениями движения
частицы, справедливыми при медленном изменении Е и Я в пространстве:
Д,
дН
дх
"Я,
rM
ах
"Я,
о дЕ ^ дх
rM
ах
(XIV.6)
где координата х может отсчитываться вдоль любого направления. Кроме
того, должно выполняться условие малости электрического поля
(XIY.6')
и условие медленности изменения электрического и магнитного полей во
времени
ш " ceH/g, (XIV.6")
где о) - характерная частота изменения поля.
842. На нерелятивистскую частицу с зарядом е и массой тп действуют
однородное магнитное поле Н и постоянная сила F, ориентированная
произвольным образом. Показать, что составляющая силы F, перпендикулярная
Н, вызывает равномерное движение (дрейф) частицы с постоянной скоростью
с
Vd =
еЯ2
[F х Н]
поперек магнитных силовых линии.
Пояснить качественно происхождение дрейфа, рассмотрев траекторию движения
частицы и силы, действующие на нее в разных точках траектории.
843. Прямым расчетом доказать адиабатическую инвариантность величины рЦН
для случая однородного и постоянного по направлению, но медленно
меняющегося по абсолютной величине магнитного поля H(t). Для этого
вычислить электрическое поле и проинтегрировать уравнение, описывающее
изменение поперечного импульса частицы р± во времени, считая, что в
течение одного циклотронного периода траекторию частицы можно считать
окружностью, совпадающей с силовой линией электрического поля.
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
233
844. Система одинаковых невзаимодействующих частиц находится в
однородном магнитном поле Н и имеет изотропное распределение по
импульсам. Все частицы имеют одинаковую энергию Sq. Затем магнитное поле
адиабатически возрастает до величины пН. Найти угловое распределение duj(
1?) и среднее значение квадрата энергии частиц ё2 в конечном состоянии.
845*. Пусть магнитное поле, оставаясь постоянным по направлению, слабо
меняется в пространстве по абсолютной величине. Показать, что эта
неоднородность поля в первом приближении приводит к дрейфу частицы
поперек поля со скоростью
v- = ^[Н х VH],
где v± - составляющая скорости частицы, перпендикулярная направлению
поля, R± = - ларморов радиус частицы (ср. с общей форму-
еИ
лой (XIV. 1)).
III
II
Рис. 43
846. Исходя из инвариантности величины I = р\/Н показать, что в
дрейфовом приближении сохраняются магнитный поток через орбиту
циклотронного вращения частицы и магнитный момент нерелятивистской
частицы, создаваемый ее циклотронным вращением. При каких дополнительных
условиях сохраняется магнитный момент релятивистской частицы?
847. Частица движется в слабо неоднородном постоянном магнитном поле.
Пользуясь инвариантностью величины I = р\/Н и законом сохранения энергии,
показать, что в дрейфовом приближении на частицу действует
234
Глава XIV
сила F, направленная вдоль магнитной силовой линии, и найти величину этой
силы. Выразить ее через магнитный момент циклотронного вращения частицы.
848. Между областями I и II, в которых статическое магнитное поле
однородно и равно Н, находится область III, в которой поле усилено
("магнитная пробка"). Максимальное значение поля равно Нт, схематический
вид силовых линий показан на рис. 43. В области I движется частица,
импульс р которой в некоторый момент времени составляет угол -в с
направлением силовой линии. Считая изменение поля медленным, найти
соотношение между д, Н и Нт, при котором частица отразится от области с
сильным полем.
849. Структура магнитного поля в адиабатической ловушке с аксиально-
симметричным полем имеет вид, схематически изображенный на рис. 44. В
среднюю часть ловушки, где напряженность поля равна Н, впрыснута порция
частиц с изотропно распределенными скоростями. Какая доля частиц R
удержится в ловушке в течение длительного времени?
850. В ловушку с аксиально-симметричным полем, изображенную на рис. 44,
захвачена порция частиц. Частицы проводят большую часть времени в средней
части ловушки, где поле почти однородно. Пусть поле ловушки медленно
нарастает во времени таким образом, что форма магнитных силовых линий не
меняется. Найти, как изменяется расстояние ведущего центра каждой из
частиц до оси ловушки.
851. В однородном магнитном поле с напряженностью Н находится
неподвижный точечный заряд q. Частица с зарядом е и массой т, имеющая
Рис. 44
§ 1. Движение отдельных частиц в плазме
235
на бесконечности продольную составляющую скорости иц, рассеивается на
