Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
(2е - 1 )q2
= х-----------------к связанным зарядам, наве-
(2е + 1)а е v
денным на поверхности полости.
153. Выберем полюс сферической системы координат в центре шара (рис.
58), полярную ось проведем через точечный заряд. Будем искать потенциал в
форме
Рис. 58
?>(r,tf, а) = щ + J2{aimrl + H+i)Pim(c ostf)e*
(1)
l,m
где ri - расстояние от q\ до точки наблюдения. Ряд, входящий в (1),
очевидно, описывает поле зарядов, индуцированных на шаре. Это поле должно
274 Глава III
исчезать на бесконечности, поэтому ajm = 0. Вследствие симметрии
потенциал не зависит от угла а, поэтому члены ст/0 также отсутствуют.
Оставшиеся константы 6/ = Ь/о определим из граничных условий.
В случае а) потенциал шара ip{R,d) = V = const. Воспользуемся
а
разложением для - из задачи 96:
= Е(^г + = v-
Отсюда 6/ = - при I ф 0, &о = VR - так что потенциал вне
шара ?<Х
Я I VR ^(R2\lPi(cos^)
^( ' ) ег\ г еа а ) /+i • ' '
1=0 т
Теперь находим плотность зарядов, наведенных на поверхности шара:
-1+<")
ОО 1.1
eV Я V-/0, , 1лД!+1
В случае б) потенциал V неизвестен и должен быть выражен через заряд Q
шара. Очевидно,
Q = 2nJ a(R, i?) Д2 sin i? di? = eVR - откуда V = ^ Используя задачу 96,
можно записать (2) в виде:
Л _ я , Q + я' я' (ЛЛ
V ?Г\ ?Г ?Гг' ' '
где
q' = q^, гг = у/г2 + а'2 - 2а'г cosi9, а' =
Таким образом, потенциал точечного заряда и заряженного шара в области г
> а сводится к потенциалу четырех точечных зарядов, расположенных на оси
симметрии: заряда q на расстоянии а от начала координат и трех
его изображений - зарядов Q и q' = q^ в начале координат и заряда -q' в
d2
гармонически сопряженной относительно поверхности шара точке а =
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
275
Заряд -q' описывает действие зарядов, индуцированных на ближайшей к q
стороне поверхности шара. Знак этих зарядов, очевидно, противоположен
знаку q. Заряд +q' описывает действие зарядов одного с q знака,
индуцированных на удаленной от q части шара.
Если шар нейтрален, то член с Q отсутствует. Если шар заземлен (V = 0),
то потенциал принимает вид
Ч>-
_я________я_
?Г\ 6X2 •
(5)
154. <р(М) = + V (рис. 59), где
?7*1 ?Г2
^ _ Я*
а *
Я = Я а* а
я' Я
а '
155. <р{м) = ?-h + h~hv^рис-60)'где
Заряд на выступе равен
/ Яа и а2
Я=Т 6 = У
Q
156. <Р = <Р1 = - я я' я
Ь2 - а2
by/а2 + Ь2. вне шара, <р = <рз =
?lRl
в проводнике,
276
Глава III
157. 'Pl(r,4) = q ? 21 + 1
1=0 + (^ + 1)?2 ai+1
¦Pi(cos,d) при r^R;
I
Д21+1 P|(cOS1?)
?*(r> ^ e2ri + 9 2 ?2 1 Jo fei + (/ + l)e2 a,+1 r,+1
где ri - расстояние от g до точки наблюдения. Здесь потенциал не мо-
Рис. 61
'/////////, Рис. 62
жет быть представлен простой системой изображений, в отличие от случая
проводящего шара. При ?i -> оо получим результат задачи 153.
158.
Vi
Я , ?l - ?2 ^ + 1 alrl г,/ а\ ______ ^ D
+ 9-ёГ- g е1/ + ?2(/ + 1) • ^TP'(C0S *> "Р"
V2
-"Е
2/ +1 а1
?\1 + ?2(1 + 1) Г1+1
Pl{COS1?) при г > Д,
где г\ - расстояние от точки наблюдения до заряда q. При а = О,
Vi
9 , (л ?г\ 9 _ я
Sir + V1 ?i)e2R' ?2Г¦
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
277
159. Обозначим поверхности внутренней и внешней сфер соответственно
через Si и S2 и положим потенциал внешней сферы равным нулю. Удобно
решать задачу в сферической системе координат с полярной осью,
направленной вдоль линии, соединяющей центры сфер, и с началом координат
в центре внутренней сферы(рис. 62). В этих координатах уравнение
поверхности Si запишется в виде г = а. Чтобы получить уравнение
поверхности S2, заметим, что из треугольника 00' А следует:
Из (1) с точностью до членов первого порядка по с находим уравнение
поверхности S2:
Член сР\ (cos д) = с cos д в (2) описывает отклонение от сферической
симметрии, которое обращается в нуль при с -> 0. Естественно искать
потенциал в виде разложения по сферическим гармоникам (см. приложение 2),
ограничившись первыми двумя членами. При этом второй член, учитывающий
отклонение от сферической симметрии, должен быть пропорционален с.
Итак, положим
1
1
(1)
Ь у/ В? + с2 - 2cR cos 1}
R(tf) = b + cP\ (cos i?)
(2)
где
Pi (cos i?) = cos
= (Ai + + с(л2г + costf,
(3)
где Ai и Bi определяются из граничных условий:
Отсюда плотность заряда на внутренней сфере:
Я 3 qc
а = --------о----------775-------costf;
47Г а2 47г(6 - а3)
278
Глава III
сила, действующая на внутреннюю сферу:
ЯС
Ь3 - а3
160. АС =
а о с
(Ь - а) (Ь - а )
161. При увеличении заряда q на dq энергия U его взаимодействия с шаром
возрастет на dU = f'dq, где ip' - потенциал индуцированных на шаре
зарядов. Но этот потенциал сам пропорционален q: iff = const • q.
Поэтому
U =
ч
J
.TT const 2 1, /
du = -z-q = Q'
(1)
Если бы величина if' не зависела от q (потенциал внешнего поля), то
энергия взаимодействия была бы вдвое больше (U = = ip'q). Используя (1) и
результаты задачи 153, получим
U
12R
2е(а2 - R2) '
откуда
q2aR
162. t/=gf
2 "3
qzR
e(a2 - R2)2 q2R3(2a2 - R2)
2a2e(a2 - R2) ' ea2 ea3(a2 - R2)2
В случае одноименных зарядов Qq > 0, и сила взаимодействия может
