Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
Солнца а = 0,7 • 106 а= км; среднее магнитное поле на поверхности Солнца
Н0 " 1э; радиус орбиты Земли го " 1,5 • 108 /см; угловая скорость
вращения Солнца Q = 2,7 • 10~6 рад/сек; скорость солнечного ветра v = =
300 км/сек.
866. На плазменный цилиндр действует однородное магнитное поле Н,
направленное вдоль оси цилиндра, и радиальное электрическое поле Е.
Вычислить ту часть энергии системы, которая связана с электрическим
полем, приняв во внимание электрический дрейф плазмы. С помощью
полученного выражения для энергии определить поперечную диэлектрическую
проницаемость е± плазмы, находящейся в магнитном поле.
867. Квазинейтральная плазма находится между плоскостями х = = =Ы. Пусть
в некоторый момент времени произошло разделение зарядов, в результате
которого все электроны оказались в плоскости х = d, а все ионы - в
плоскости х = -d. Из-за электростатических сил заряды станут совершать
колебания. Пренебрегая столкновениями частиц, найти частоту о; этих
колебаний, если средняя концентрация частиц одного знака равна п.
1 Модель, рассматриваемая в этой задаче, использовалась Паркером для
описания межпла-
нетного магнитного поля, создаваемого потоками солнечной плазмы
(солнечным ветром).
240
Глава XIV
868. Найти глубину проникновения электромагнитного поля в плазму при
разных частотах. Для этого рассмотреть нормальное падение
электромагнитной волны на плоскую границу плазмы, вычислить коэффициент
отражения R и поперечное электрическое поле в плазме E(r, t).
Диэлектрическую проницаемость взять в виде (XIV. 13).
869*. Найти диэлектрическую проницаемость бесстолкновительной плазмы с
учетом теплового движения электронов. Для этого проинтегрировать
уравнение движения электрона во внешнем поле Е = Ео ехр[г(к • г -
- u)t)\, вычислить плотность тока, создаваемого одной частицей, и
произвести усреднение по начальному равновесному распределению координат
и скоростей, считая его максвелловским. Ограничиться линейным
приближением по напряженности электрического поля Е, движения ионов не
учитывать. Заданы средняя концентрация электронов п и температура плазмы
Т (температура измеряется в энергетических единицах).
870. Диэлектрическая проницаемость плазмы для продольного поля при учете
теплового движения частиц имеет вид
г|=1-;^(1+!Н)'
где = Т/тп, второй член в скобках мал по сравнению с единицей. Вычислить
фазовую и групповую скорости продольных плазменных волн.
871. В момент t = 0 в плазме нарушилась нейтральность заряда, в
результате чего возник объемный заряд с плотностью р(г, 0).
а) Вычислить плотность p(r,t) для t > 0, использовав значение
диэлектрической проницаемости плазмы (XIV. 13).
б) Как изменится качественно результат, если учесть тепловое движение
частиц плазмы? Проделать конкретный расчет для ?ц, приведенной в условии
предыдущей задачи, выбрав
р(г,0) = ро^exp[ -( ) j, где р0 = const, х0 = const.
ЛИТЕРАТУРА
Джексон Дж. [52], Лонгмайр К. [74], Франк-Каменецкий Д. А. [109], Нортроп
Т. [82], Вопросы теории плазмы [28], Силин В. П., Рухад-зе А. А. [91],
Альвен Г., Фельтхаммар К. Г. [2].
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ
Глава I
ВЕКТОРНОЕ И ТЕНЗОРНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Векторная и тензорная алгебра. Преобразования векторов и тензоров
I. cos в = п • n' = cos •& cos •&' + sin •& sin •&' cos(a - a').
3. Так как 6" (г = 1,2,3) - компоненты вектора, то при повороте системы
координат 6' = ctikbk- Подставив 6' в равенство а'6' = inv и сравнив с
ctkbk = inv, получим a* = a^a', т.е. а* преобразуются при поворотах как
компоненты вектора. Поскольку инвариант (скаляр) при отражениях не меняет
знака, компоненты а" и Ъи либо одновременно должны менять знак (полярные
векторы либо не менять его (псевдовекгоры).
10. (axb)o = i(a_i6+i-a+i6_i), (а х b)±i = ±i(a06±i - a±ib0),
M=_1 Г-Г
(а • Ь) = (-1)ма-мЬм, rM = J^гУ1М.
m=i v
II. Тензор, обратный данному, удовлетворяет соотношениям
Zi^ki = sii• (!)
Это - алгебраические уравнения относительно компонент е~к обратного
тензора. Их решения имеют вид
где Aki - алгебраическое дополнение элемента ?** в определителе |е|. Из
формулы (2) следует, что для существования обратного тензора необходимо,
чтобы |е| ф 0. Учитывая известное свойство определителя |е|,
242
Глава I
убеждаемся, что обратный тензор удовлетворяет, наряду с (1), также
условиям
?ik?kl = S"- (3)
Если ?ik - симметричный тензор, заданный в главных осях: = e^Sik
(здесь суммировать по г не нужно), то
?ik =
14. Tj/t образуют тензор II ранга.
15. При преобразовании е* -> е' по формулам е' = а^е^, коэффициенты
oiik = e'i • вк имеют смысл проекций новых ортов на старые. Выполняя
проектирование (рис. 46,47), получим следующие матрицы преобразования:
при переходе от декартовых координат к сферическим,
а =
а 1 =
f'sin cos a sin i? sin a
cos cos a cos i? sin a
\ - sin a cos a
''sin •& cos a cos •& cos a
sin sin a cos i? sin a
\ cos - sin
при переходе от декартовых координат к цилиндрическим,
(cos a sin а 0\ /cos а
- sin а cos а О I ; а-1 = [ sin а
