Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
О 0 1/ V о
§ 1. Преобразования векторов и тензоров
243
16. Обозначив через д матрицу, связывающую компоненты вектора в
системах S' и S (Л- = gikAk), имеем: в случае отражения,
9- =
в случае поворота,
s(") =
Направление отсчета угла а и направление оси z удовлетворяют правилу
правого винта.
17. Воспользовавшись результатами предыдущей задачи, получим
д(а 10а2) = 5(012)5(0)5(0:1) =
cosai ссваг-cosflsinai sin02; sinai cosa2+cos0cosai sina2; sin0sina2^ cos
ai sin аг -cos в sin ai cos (*2; -sin ai sin (*2 +cos в cos ai cos (*2;
sin в cos аг sin ai sin в - sindcosai cos в j
{*
18.
D{0l\d0l2>} =
( i(l +COS0)e<("l+"2); _X S1H $eia2 . _1(1 _cos0)e<("2-"i)''
^ v2 ^
cosd; ---^sinfle-^i
-^(l-COS^e^l-^);-------bsin0e-ia2; i(l + cos0)e_*(ai+"2)
^ \/9 *
V 2' ' ' ^2 ' 2'-------
19. Так как матрица поворота на нулевой угол (тождественное
преобразование) равна 1, то при повороте на малый угол |е<*| <С 1. Для
доказательства соотношения ?** = -?ki воспользуемся инвариантностью г2 =
= SikXiXk относительно вращений. Поскольку х\ = оцкХк = х" + ?ik%k, то с
точностью до малых величин первого порядка имеем г'2 = г2 + 2 Из
инвариантности г2 следует, что SikXiXk = 0 при произвольных х", а это
возможно только при ?ik = -?ki• Введем вектор Sip с компонентами Sipi =
= iki?ki• Тогда г' = г + Sip х г, откуда видно, что Sip представляет
собой вектор малого угла поворота, направление которого указывает ось
вращения, а величина - угол поворота.
244
Глава I
22. Доказательство одинаково для любого числа измерений. Пусть матрица
коэффициентов преобразования а, а ее определитель |а|. В силу
ортогональности матрицы а имеют место п2 равенств = 6ц. Замечая,
что в левых частях этих равенств стоят элементы определителя, равного
а
1 или |а|-
произведению двух определителей |а|, получим |а|
= 1. Отсюда следует, что |а| = ±1.
Докажем, что при поворотах |а| = +1. Если поворот производится на нулевой
угол (тождественное преобразование), то |а| = |1| = 1; поскольку элементы
матрицы а являются непрерывными функциями параметров, задающих поворот
(например, углов Эйлера, см. ответ задачи 17), то и при повороте на
конечный угол |а| = 1.
При отражениях определитель |а| имеет вид
а =
±10 0 0 ±1 о
0 0 ±1
Знак минус имеют те диагональные элементы определителя, которые
соответствуют отраженным осям. Ясно, что |а| = +1 при четном числе таких
осей и -1 при нечетном их числе.
24. Из 27 величин е<ы отличны от нуля только шесть. Остальные имеют
хотя бы два одинаковых индекса и в силу антисимметрии обращаются в нуль
(ецк = -еик = 0). Отличные от нуля компоненты равны
6123 = в312 = 6231 = -в321 = - в213 = -в132 = 1-
Составим выражение aua2ka3ieiki• Вспомнив определение детерминанта
третьего порядка и используя определение е^;, запишем это выражение в
виде otnot2ka3ieiki = |"| = +1 = e'123. Переставив теперь слева два
индекса, например, 1 и 2, получим
a2ialka3leikl = ~alka2ia3lekil = -e'i23 = e'2i3 . . .
Из этих равенств видно, что е^{ преобразуются при поворотах как тензор
111 ранга. При отражениях величины е^; не меняются, поэтому совокупность
их образует аксиальный тензор 111 ранга. Он обладает любопытным
свойством: его компоненты во всех координатных системах одинаковы.
25. Запишем тензор Aik в виде таблицы:
/ 0 А12 - АзЛ
Aik = ( -А21 0 А2з )
V Аъ\ -А23 0 /
§ 1. Преобразования векторов и тензоров
245
Обозначим Л2з = А\, А31 = А^, А\ъ = A3. Эти три равенства можно записать
как Ai = ^ыАы, где еш - совершенно антисимметричный единичный тензор III
ранга, введенный в предыдущей задаче. Но поскольку еш является тензором
III ранга, а Аы - тензором II ранга, величины Ai (г = = 1,2,3) образуют
вектор. Ai называется вектором, дуальным тензору А^.
dAi
26. (А х В)* = eikiAkBi, rotj А = еш--А х В и rot А можно
oxk
рассматривать как антисимметричные тензоры II ранга или как дуальные им
векторы, компоненты которых не меняют знака при отражениях
(псевдовекторы).
28. а) а2(Ь • с) + (а • Ь)(а • с); б) [(а х Ь) х с] • [(а' х Ь') х с'].
30. (а - а')(Ь- Ь')(с- с') + (а - b')(b- с')(с- а') + (Ь- а')(с- Ь')(а-
с/) -
- (а • с')(с • а')(Ъ • Ъ') - (а • Ъ')(Ъ . а')(с • с') - (Ъ • с')(с •
Ъ')(а. а').
31. Проведем доказательства для вектора и тензора II ранга.
а) Так как компоненты вектора по условию должны быть одинаковы во всех
системах отсчета, то при любом повороте А' = а*, т. е.
А'Х = АХ, Ay = Ay, A'Z = AZ. (1)
Повернем систему координат вокруг оси г на угол п. Из формул
преобразования компонент вектора при вращениях А[ = а^Ак получим, что
Ах = -Ах, Ау = -Ay, Az = Az. (2)
Равенства (1) и (2) совместимы только в том случае, если Ах = Ау = 0.
Произведя поворот вокруг оси х на угол 7Г, точно так же докажем, что Az =
0, т. е. вектор А = 0, если его компоненты не зависят от выбора системы
отсчета, что и требовалось доказать.
б) Любой тензор II ранга можно представить в виде суммы симметричного
и антисимметричного тензоров: %к = Sik + Aik• Антисимметричный тензор
