Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
постоянная С определяется из условия f Dn dS = Anq, С = -j-. Отсюда
S ei + ?2
находим распределение поверхностных зарядов:
Q?1 qe2
^1 = --т;------------------------------:-г, СТ2 =
2na?(ei + ?2) ' 27ra2(ei + ?2) '
_ q{? 1 - 1) _ g(e2 - 1)
1св 27ra2(ei+?2)' 2CB 27ra2(ei + ?2)
132. C= [(?41)n+ll^.
L 47Г J 0 - a
133
266 Глава III
Связанные заряды находятся в местах неоднородности диэлектрика т. е. нг
сферах радиусов а, Ь, с:
_ _ q ? 1 - 1 _ _ q ?г-1 _ _ q (
1 \\
"асв- л о' " "Ьсв- . ,о' 1 "ссв - . о I )
4 -КОТ ?1 4яЧГ ?2 47ГС ^?2 ?\'
где q - заряд внутренней обкладки конденсатора.
Полный связанный заряд в конденсаторе равен нулю.
135. Емкость конденсатора
?<) S
С =
47га In 2'
Поверхностная плотность связанных зарядов
Стсв = -<r(l - Прн X = О,
сСв = - 2^) нри х = а.
Объемная плотность
Л _ ста Рсв - ¦
?о(х + а)2
(а = еУ/(4тга In 2) - заряд обкладки прн х = 0).
136.
а) /о = н sm V2 . end2 '
б) /о = &_ = 8те -Уо
/ = & = 87Г /о
в) / = ЕЁ2 87Г " = ?fo
/ = (?Е)2 8п ¦ = e2fo
(жидкий диэлектрик), (твердый диэлектрик); (жидкий диэлектрик), (твердый
диэлектрик).
137. a) F =
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
(е - l)b/i2 V2 .
267
б) F = -
27rq2/ii/i2[/ii? - /1г(е - 1)](е - 1)
. Общие знаки минус
Ь[еа/ц - (е - 1)/1га:]2 говорят о втягивании диэлектрика в конденсатор
(координата х стремится уменьшиться).
138. Сравним давление в точках А и В жидкости (рис. 54). В точке В
давление равно атмосферному р"м. Давление в точке А можно найти дву-
|Tl2 Q
мя способами. С одной стороны, по формуле (111.25), Ра = Ряш + тг~ -тг^
о7Г ОТ
^ здесь ретк = ро, Е = ^. С другой стороны, Ра отличается от давления у
поверхности жидкости в конденсаторе, определяемого формулой (111.23),
на величину гидростатического давления rgh, Ра = rgh + т
Е^де 87г дт
?- 1 87Г
Е2 + Ра(tm). Сравнивая, получим
h =
87Г дт
Е2.
139. Тензор макевеллова натяжения TJ, направлен так, что электрическое
поле Е делит пополам угол между п и (рис. 55). |Т^| = и =
|Tl2 Q
при любой ориентации площадки. Стрикционное натяжение Т" = _тп
о7Г ОТ
имеет всегда характер "отрицательного давления" нормали п к площадке.
оно направлено вдоль
268
Глава III
140. а) Введем цилиндрические координаты, как показано на рис. 56а. На
плоскости ху поле имеет радиальное направление, его величина Е =
_--------2qr-- Для вычисления силы F, действующей на один из заря-
сь2 + а /А) '
дов, например, на левый, нужно просуммировать напряжения, приложенные к
элементам dS этой плоскости со стороны, обращенной к другому заряду:
TzdS = -^E2dS = -?-
¦dS,
8тг 27Г (г2 + а2/4)3?2
если воспользоваться максвелловым тензором натяжений. Отсюда
ОО
/ Т.<9--?*>/¦
г2 2-кг dr е2(г2+а2/4)э
еа
Именно такое значение обычно принимается для силы, действующей между
зарядами в однородном диэлектрике. Однако, если провести то же самое
вычисление с полным тензором натяжений, то сила будет равна Fz + AFZ,
где AFZ = q2e 2а 2т^=- получается за счет стрикционного члена. Но в те-
ОТ
ории, учитывающей электрострикционные натяжения, нужно также учиты-
Рис. 56
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
269
вать явление втягивания жидкости в поле и связанное с этим повышение
Е2т де
гидростатического давления в жидкости на величину Ар :
87г дт
, соглас-
но (III.25). Результирующая гидростатическая сила AFzr = -
Я2т де е2а2 дт
= -AFZ. Полная сила взаимодействия зарядов Fz + AFZ + AFzr =-------------
-
еа
совпадает с той силой, которая получается без учета стрикционных сил и
представляет собой, таким образом, результирующую электрических и
механических сил.
б) Те же результаты получаются, если рассматривать действие натяжений
на поверхности малой сферы радиуса R с центром в той точке, где находится
заряд q, испытывающий действие силы (рис. 566). Введем сферические
координаты и рассмотрим максвелловы натяжения ^ ^Е?г -
- i-E2er), где Е = Ei + Е2, Ei = -Ц-ег - поле заряда, испытывающего
1 > eR
действие силы, Ег = -^ (е^ sin ¦&-ег cos т?) - поле второго заряда,
которое
еа
можно рассматривать как однородное, так как расстояние между зарядами а
R. Просуммировав натяжения, приложенные к поверхности сферы, получим
F = [ T'ndS=-^ez. J еа*
Рассмотрение стрикционных натяжений опять не дало бы ничего нового из-за
гидростатической компенсации.
/8mg -\je-V
141. (ро
где g - ускорение силы тяжести.
<Р-
¦<Р 1 : <Р2
е\т\
2
+
142. При z > 0:
при z < 0: _ ,
v Г Г ?l+?2 г
¦43. = i [("-!>&>-(е1-1)"Й.
(ei - ?2) q
?i(?i +?2) _ Q_
' 1 '
qa
?1 -?2
где
z=0 27ГГ3 ?l(ei + ?2)'
r = y/x2 + y2 + a2 = п|г=0 = r2\ z=0-
При ?2 -> oo получаем случай точечного заряда q, находящегося в ди-
тт Яа
электрике ?\, у границы с плоским проводником. При этом асв ->-----------
-.
2лтл?1
270
Глава III
Эта предельная плотность на самом деле представляет собой сумму
плотностей связанного заряда на границе диэлектрика и свободного заряда
на поверхности проводника.
144. F=q2 61 62
4 a2 ?i(ei + ?2)
При е\>?2 заряд отталкивается от границы диэлектриков, при ?\<?2 -
