Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
= Т ' ^" cos1? ^
Внутри сферы - однородное электрическое поле с напряженностью E\z = Вне
сферы - поле диполя с моментом
О О
256 Глава II
92. Вследствие аксиальной симметрии поля уравнение Лапласа, записанное
в цилиндрических координатах (полярная ось направлена вдоль оси симметрии
системы), принимает вид
av ify + &р=0 (1)
dr2 г 0r dz2 {4
Будем искать решение уравнения (1) в форме степенного ряда по г:
ОО
<p(r, z) = ^2 "п(z)rn, a0(z) = <р(0, z) = Ф(г), (2)
п=0
где Ф(г) - потенциал на оси симметрии системы.
Подставив (2) в (1), перегруппировав члены и приравняв нулю коэффициенты
получившегося ряда, найдем рекуррентные соотношения для определения
коэффициентов an(z), откуда:
= Е ??*(tm)м(5Г=~ тф"(г)+• • ¦¦ -
п=0 'П-''
Еа= 0, Ez = -^ = -V{z) + ...
93. Нужно вычислить мультипольные моменты
(r)1т = 'JwTl f 2'Q)Rda'
Используя формулы (П2.1), (П2.5) приложения 2, найдем:
?>М) = ^ Е(-1)и(2Г2п)У'' (д) P2n(COS1?) ПРИ r<R-
п=0 ' '"
Обе формулы справедливы также при г = R ($ ?= ^)-
<р(г,0) = j E(~1)n (2"2n)i)" (f) p2n(cosi?) при г > R,
П=0
ОО
Постоянное электрическое поле в вакууме 257
nj -ч 2 Зг2 - г2 0 2P2(cosi9)
94. а) ps qaz----------- = 2qaz--------=---;
Г г
3qa2 sin2 ¦в cos a sin а б-----------------~3------------•
95. a) ip и б9аЗРз4(с°8 = ga315 cos31? - 9 cos I?.
Г г
lbqabcxyz I5qa.bc sin2cos sin a cos а
о) <P " ------?--- =-------------------2-------------•
96. <fi(r,#,a) = q? ?^-rzTYim(tio,aco)Yim(tf,a) при r < r0;
i,m a + 1 "o
<p(r,tf,a) = 9 E оГГТ ¦ при г > r0.
l,m U + 1 v 1
л, , ч ff , a2(3a;2 - r2) + b2(3y2 - r2) + c2(3z2 - r2)
97. ------- -------гг*- -------------------'--¦
10r
В случае эллипсоида вращения (а = b)
, ач q , с2-a? P2(costf)
v(r^) = r+q-5-----------------------¦
В случае шара (а = b = с)
4>=г-
98. В сферических координатах с полярной осью вдоль оси симметрии
системы и полюсом в центре колец
, оч g2(a2-b2) Р2( cost?)
<р(г,#) =-------2-----------------.
Это - потенциал линейного квадруполя, у которого заряды -q нахо-
у/а2 - b2 "
дятся на расстоянии -- -------от центрального заряда 2q.
99. Вычислим мультипольные моменты:
q = - J(р' ¦ V)5(r) dV = - j>(p' • n)5(r) dS = 0.
258 Глава II
так как J(r) = 0 всюду, кроме г = 0;
Р" = - /*"(р' • V)tf(r) dV = - f хар'п^ dV = Jр'п^Чг) dV.
Последнее преобразование состояло в интегрировании по частям. По
повторяющемуся индексу п подразумевается суммирование. Возникший при этом
поверхностный интеграл обращается в нуль, так как 6(г) = 0 при г ф 0. По
определению (5-функции
__ / дха _ / г
Ра Рп Qg. Рпдо
Ра-
Все мультипольные моменты более вы-рис 49 сокого порядка
пропорциональны компо-
нентам г при г = 0 и поэтому обращаются в нуль. Рассмотрим, например,
компоненты квадрупольного момента. Действительно,
г=0
= 0.
Qa0 = ~J xax0p'n dV = J t(r)Pn dXQ^ dV = Р'с,Х0 +р'0Ха
100. После n-кратного интегрирования по частям получим
ф) = д(-1 Г /*(г') П((r)* • & = ЧV)F-
< II i
" qa2(3z'2 - г2)
101. Проще всего, воспользовавшись формулой ip = -----------------
т
(см. ответ к задаче 94), выразить в ней z' через х, у, z (рис. 49).
Получим
Постоянное электрическое поле в вакууме 259
Тот же результат можно получить, воспользовавшись тем, что совокупность
компонент квадрупольного момента представляет собой тензор II ранга. В
системе осей х', у', z' компоненты квадрупольного момента
Qxx = Qyy = Qxy = Qxz = Qyz = 0, Q'zz = 2 qa2.
Матрица коэффициентов преобразования имеет вид
(cos 7 cos 0 - sin 0 sin 7 cos (3\ cos7sin(3 cos(3 sin7sin(3 J .
- sin 7 0 cos 7 /
С помощью этой матрицы вычисляем компоненты Qap в системе xyz по формулам
Qa0 = У^ag-yapsQ'-yS'
7,6
а затем используем формулу (П.8).
102. tp = 1^a^cz [(у2 - х2) sin 2(3 + 2ху cos 2(3\ =
2 г
_ 15qa.bc gjn2 ^ cog^ sjn2(ок - (3).
2
103. ip =--(3sin2t?sin2a - 3cos2t? - 1).
4 г
104. По принципу суперпозиции можно написать
Ф) = J dv' = J Р grad' dV'.
v
Преобразуя это выражение с помощью теоремы Остроградского-Гаусса,
получим что <р(г) = f --п-у- dS, где S - внутренняя поверхность поляри-
S 1Г_Г I
зованного шара, а Рп = Pcos-d. Используя результаты задачи 91, найдем:
Vi = ^Ep~cosd (г<Д),
Vi = 47Г/^ cost? (г > R).
Ъг*
260 Глава II
105. ip (г) = -2* In г + 2Г Л" cos па + В" sin па ^
п=1 пг
где х = f р(г') dS' - полный заряд единицы длины распределения, Ап = = f
p(r')r/n cos па' dS' и Вп = f p(r')r'n sin na' dS' - двумерные мульти-
польные моменты n-го порядка.
Из этих формул, в частности, следует, что потенциал диполя в двумер-2d *
j*
ном случае имеет вид tp = --, где Р = / p(r')r' dS' - дипольный момент
Г
распределения на единицу длины, г - радиус-вектор в плоскости ху.
ОО 1 / ч п
106. <р(г,а) = -2х\пг + ? cosn(a-ao) при (г > г0),
П=1 '
ОО 1 / \П
ip(r,a) = -2x\nr + nini) cosn(a-ao) при (г < го).
П=1 ' '
Рис. 50
107. <р(г) и cos a = ^2^,
Г
где р - диполь ный момент на единицу длины, г - радиус-вектор в плоскости
ху (г " а), ось z направлена вдоль одного из линейных зарядов.
Постоянное электрическое поле в вакууме
