Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
1 - е
где - коэффициенты деполяризации (см. задачу 198). В случае сфе-Е
ры е = 0 и -^ = 3. В случае очень вытянутого стержня (громоотвод):
Ьо
Егпях / Од ^ \ ^
Ео Ь2
поэтому искровой пробой воздуха значительно более вероятен у конца такого
громоотвода, чем на других его участках.
197. Поле на произвольных расстояниях от эллипсоида получается как
суперпозиция трех полей вида, установленного в задаче 195 (поле Ео
разлагаем на составляющие, параллельные главным осям эллипсоида).
На больших расстояниях от эллипсоида:
?' = ?'о + ЕзЕ, рх = 13{х)Ех, ру = /З^Еу, р, = №ея. г
Главные значения тензора поляризуемости эллипсоида:
abc а(у) abc a(z) abc
р(х) _ abc ^ р(у) _ abc ^ p(z)
ЗпЫ ' 3пМ ' ЗпМ '
n(v)=n(z) = Lz^.t
288 Глава III
В случае е -> 1 (стержень):
n(x)=0, п(у) = n(z) =
В случае е <С 1 (форма, близкая к шару):
n{x) = \~b2' "(!/) = "(z) = | + ie2-
199. п№ = 1 + 6 (е - axctge) ^ е *
n(x) = n(v) = L=n^; e = yj{%)2-1.
В частном случае диска:
= 1, = 0.
200. ч> = ч>х = Ч>у = Vz-Внутри эллипсоида:
4>х = <Р1х =
- EqX
(i + ?4rin<x))
Вне эллипсоида:
4>х = V 2х = ~EqX
abc(e 1 - ?г) /----------
1 -
? (f + а )Д"
2[е2 + (ei - ?2)п(х)]
где
п<*> = ±аЬс 7 ---
2 У ? + а
(? + а2)Щ'
U
и v?z определяются аналогичными выражениями, в которых х нужно заменить
соответственно на у и z, а на b и с. Внутри эллипсоида однородное поле:
§ 3. Специальные методы электростатики 289
На больших расстояниях от эллипсоида:
" р • г
<р2 = -Ео • г Н---г-,
г
где рх = 0^ЕХ, /?<"> = аЬс-------
\El - ?2 )
И Т.Д.
201. Воспользовавшись формулой (III. 16), получим:
abc{?2-?i)El{2[?2 + {?i-?2)n] sin2 д + [?i+?2+(?2-?i)ra] cos2 <р}
U
6[е2 + ?i +п(?2-? i)][e2 + (?1 -?2 )п] _ dU _ abc{?2 - ?i)2Eq(3ti -
I)sin2i9
д'д 6[е2 + ?1 + тг(е2 - ?i)][?2 + (?1 - ?2)тг] '
где 'в - угол между осью симметрии и полем Ео, п - коэффициент
деполяризации относительно оси симметрии эллипсоида (см., например,
решение предыдущей задачи).
Из последней формулы видно, что внешнее поле стремится повернуть ось
симметрии вытянутого (n < 1 /3) и сплюснутого (n > 1 /3) эллипсоида в
положение, параллельное и перпендикулярное полю соответственно.
В случае проводящего эллипсоида, ?1 -> оо и
abc(3n - 1)Eq sin 2i9 6n(l - n)
202. Потенциальную энергию жидкой заряженной капли, имеющей форму
эллипсоида вращения с эксцентриситетом е = ^1 - ^ и объемом, равным
объему сферы с радиусом R (заряд q), можно выразить формулой
a(.)=?+"s-'jyi=53-1+e
2 С ARe
1п^+27гД2а(^Г^+^1^!Л (1)
1 е \ ev^l -е2/
(воспользоваться выражением для емкости С вытянутого эллипсоида вращения,
приведенным в ответе к задаче (194).
Чтобы ответить на вопрос об устойчивости заряженной сферической капли,
надо выяснить характер зависимости энергии (1) от е при малых е.
290
Глава III
Разложим U в ряд с точностью до е4:
= 2R+ 47гД2а + 45 (87гД2а - 2д) •
Из последней формулы видно, что если заряд капли q<qKp = y/l6nR3a, то при
малых деформациях капля стремится вернуться в сферическое состояние -
капля устойчива. При q > одр, поскольку возникшая деформация продолжает
увеличиваться - капля неустойчива. Процесс кончается расщеплением
неустойчивой капли на две или большее количество1 более мелких устойчивых
капель. То, что в конце концов получаются устойчивые капли, видно из
выражения од. С уменьшением размеров капли критический заряд од
уменьшается пропорционально корню квадратному из ее объема, в то время
как заряд капли q уменьшается в среднем пропорционально объему; поэтому
при достаточно малых размерах капли условия устойчивости начинают
выполняться.
203. (/? = -%?(arctg^-^) =-^v^(^arctg-^-l),
где Л нужно брать со знаком плюс при z > 0 и со знаком минус при z < 0.
На больших расстояниях за отверстием ? и г2 и поле приобретает вид
E0a3z
ip "----- при z > 0.
Зтгг3
Такой характер имеет поле электрического диполя, ось которого совпадает с
осью z, а момент р = Е°а . Отсюда видно, что силовые линии,
ОТГ
проходящие через отверстие, замыкаются на обратной стороне металлического
экрана.
204.
<'=-^('r-"C5i<+7^) "р"г=-°-
приг=+0'
где ri = у/? + а2 - расстояние от центра отверстия до точки наблюдения на
плоскости.
'Легко непосредственно проверить, что, например, при расщеплении
заряженной капли на
2
две равные сферические капли энергия уменьшается в 2 3 раза.
§ 3. Специальные методы электростатики
291
205. Нужно решить уравнение Aip = -4щ8(г - го); ^-функция должна быть
при этом записана в цилиндрических координатах:
Рассмотрим соответствующее (2) однородное уравнение. Частными его
решениями, удовлетворяющими (3), являются произведения Rn(r) sin
(п = 1,2,3,...), где величина Дп(г) равна с точностью до постоянного
множителя либо /Птг (кг), либо КП7Г (кг). Будем искать решение неодно-0 0
родного уравнения (2) в виде суперпозиции таких частных решений:
При написании (5) мы учли, что потенциал <рк должен удовлетворять (4) и
быть ограниченным при г = 0 (см. приложение 3).
Для определения постоянных Ап и Вп воспользуемся, во-первых,
