Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
XiXk
где \?ik | - определитель тензора ?**.
176. Е = Е0- {?гк~6:к1тЕ°кп.
€1тпЩ Tim
177. С
S?(Z)
47Га '
где z - координата, нормальная к пластинам конденсатора.
178. Если выбрать оси х, z в плоскости Eq, n, z || п, то
Ez 1 - ?zx tg '
тр
где tgi?o = -гг5-. При этом силовая линия в дюлектрике остается в
ПЛОСКОГО Z
ста Eq, п.
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты
180. Обозначим через 91 заряд первого проводника и через q' заряд на
внешней поверхности второго проводника (заряд на внутренней поверхности
второго проводника равен -51, как это следует из электростатической
теоремы Гаусса). Система (111.28) принимает внд:
9i = cnVi +C12V2, Л
-Ql + Ч' = Cl2^1 + С22^2- J
Сложив эта уравнения, получим
q' = (сц + ci2)Vi + (С12 + 022)^2-
(2)
§ 2. Потенциальные и емкостные коэффициенты 283
Заданием q' определяется поле во всем внешнем пространстве, в част-
ности, потенциал V2 второго проводника. Равенство (2) должно, таким
образом, иметь место при любых значениях V\ и фиксированных q', V2, что
может быть, только если
сц + С12 = 0. (3)
При этом первое из уравнений (1) принимает вид:
qi=Cn(V1-V2). (4)
Из (2), (3) и (4) следует, что
С = Сц = -Cl 2 = -С21,
С' = С\2 + С 22*
С22 _ СП ___________ С12
• S11 = ----------5-, S22 = ----------S12 - $21------------------
2 9 2 9 2 *
СЦС22 - С12 СцС22 - С12 СцС22 - Cl2
182. 5ц = S22 = S12 = S21 =
183. С = СиС22~1С12 .
Cll +С22 +2С12
¦юл " Sii -2S12 + S13 Я " Я " Я " S11-S13 9
184' gl= ап-а12 '8" = 2' 93 = 4' 94 = ' 8'
185. gi = g2 = -|g, Чз = ^-9-
КС.
F = -(") = S!S.
\ or / q
_ _Vo-Vp _ _Vi-Vp
187- 90 = 9 Tb^vT'
189. Собственная емкость объединенного проводника:
Coo = Сц + С22 + 2ci2.
Взаимная емкость объединенного проводника и г-го проводника системы:
Со" = Cli + С2".
190. Энергия уменьшается на величину
284
Глава III
191. С точностью до 1 /г,
6CV
г3 [С + ab(b - a) J]2
192. Шарик и проводник приобретают при соприкосновении один и тот же
потенциал
где Sik - потенциальные коэффициенты (индексы 1 и 2 относятся
соответственно к шарику и к проводнику).
Обозначим через од заряд проводника после к-го подсоединения. Из
равенства потенциалов проводника и шарика при соприкосновении следует:
9fcSn + (Q + qk-1 - qk)sn = qksn + {Q-q + qk-i)s22-
Отсюда, используя (1), получим рекуррентное соотношение, связывающее qk-1
и qk:
Последовательное применение формулы (2) с переходом в дальнейшем к
пределу fc -> оо дает окончательно:
Это уравнение должно быть проинтегрировано с граничными условиями <р =
const при ? = 0 (на поверхности эллипсоида), <р -> 0 при ? -> оо.
Vi = qsn +{Q- q)si2 = qs12 + {Q - q)s22 = V2,
откуда
sn - Sl2 _ Q _ j
S22 - Sl2 Я
(1)
(2)
§ 3. Специальные методы электростатики
193. Уравнение Лапласа принимает вид:
§ 3. Специальные методы электростатики 285
Выполняя интегрирование и воспользовавшись для определения постоянной
интегрирования тем, что при г = у/х2 +у2 + z2 -> оо, ? -> г2, получим:
=4- [ 1 = J_
^ 2ej Щ' С 2ej Щ'
Отсюда
= Я (х2 . У2 . z2\~\
дп (=о 4Tr\hid?/(=o А-каЬс V а4 Ь4 с4/
Плотности зарядов на концах полуосей прямо пропорциональны длинам
полуосей: ст0: сть: стс = а : 6 : с.
194. При а = Ь > с (сплюснутый эллипсоид):
Я ^ а2 - с2 " \/а
с=~
Л
В частности, при с = 0 (диск) С =
При а > Ь = с (вытянутый эллипсоид):
1П _ 9 ]п у/€ + fl2 + Va.2 - Ь2 ^ ^ у/а2 - Ь2
\/а2 - Ь2 + а2 - \/а2 - Ь2 , о + \/о2 -
Ь2
6
В частности, при 6<а (стержень):
In -р-
195. Будем сначала считать эллипсоид незаряженным: 9 = 0. Если внешнее
однородное поле Ео параллельно оси Ох, то
щ = -Eqx = ^fEo,
(? + a2)(q + а2)(? + Q2)
(>Ь2 - а2) (с2 - а2)
286
Глава III
Знак минус соответствует х > 0, знак плюс х < 0. Как функция ipo, так и
потенциал <р' поля наведенных на эллипсоиде зарядов удовлетворяют
уравнению Лапласа, Подставляя <р' = (poF(^) уравнение Лапласа, получим
уравнение для определения неизвестной функции F(?):
*Е + ?|Ч","+ ¦*)]-а
Это уравнение легко интегрируется. Решение, удовлетворяющее граничным
условиям, имеет вид
H"=o = Vo
dt
dt
о (? + а2)Щ
Если эллипсоид имеет собственный заряд q, то решение, удовлетворяющее
условиям <р|^=0 = const и - j> ^ dS = 47гq (S - замкнутая поверхность,
содержащая внутри себя эллипсоид), можно получить по принципу
суперпозиции (см. задачу 193):
оо
196. Потенциал имеет тот же вид, что и в предыдущей задаче. Входящие в
выражение потенциала интегралы могут быть выражены через элементарные
функции - это имеет место во всех случаях, когда эллипсоид обладает
симметрией вращения. В итоге получим:
In
IР = -EqX
1 -
у/1 + ?/а2 + е _ 2е у/1 + ?/а2 - е у/1 + ?/а2
In
14- е
2е
§ 3. Специальные методы электростатики 287
где а - большая и Ъ - малая полуось, е = "/1 - ^ - эксцентриситет
V а
эллипсоида, ось х направлена перпендикулярно плоскости,
е - fl [кулярно ПЛО-----
(см. задачу 66). Напряженность поля достигает максимального значения в
вершине эллипсоида:
Ет" 1 dip 2е3(1 - е2)-1 i
Е0 E0h(: д? €,о,с=-ь2 1п 1±е _ 2е п(х) '
