Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
i=o shyl -1- 2J (?1 + ?2)
l2 , "2 _2 i2 _2 , JI
Поверхности первого н второго проводников описываются уравнениями ? = -|i
н ? = ?2 соответственно, причем ai sh?i = а2 sh^2-
§ 3. Специальные методы электростатики
297
214.
сц = ai(l + тп + тп3 + т2п2), ci2 = -ain(l + тп),
С22 = аг(1 + mn + т3п + т2п2),
0,1 0,2
где т = -, п =
215. Пусть потенциал сфер равен нулю, потенциал на бесконечности равен -
V. Произведем инверсию системы в сфере радиуса R = 2а, центр которой
находится в точке касания проводящих сфер (рис. 66а, сфера инверсии
изображена пунктиром). После инверсии система примет вид плоского
конденсатора (рис. 666, сфера инверсии изображена пунктиром)
Рис. 66
с расстоянием 2R между заземленными обкладками. Внутренности сфер
соответствует при этом внешняя область конденсатора. В центр инверсии в
конденсаторе попадает бесконечно удаленная точка первоначальной системы с
потенциалом V. Этому соответствует точечный заряд q'0 = -RV в центре
инверсии. Поле в инвертированной системе может быть, согласно задаче 210
(е = 1), получено как поле следующей бесконечной системы изображений:
точечные заряды (-1)"qq находятся в точках z'n = 2Rn оси z', проходящей
через центр инверсии перпендикулярно к обкладкам конденсатора. Поскольку
мы интересуемся емкостью, нужно найти полный заряд первоначальной
системы:
°° °° п> ТУ °° /_1 \П
Я = '2^2Яп = 2Л~Ь~ =qoJ2 -^п~ = -Чо1п2 = Я^1п2-
П=1 П=1 П П=1
298
Глава III
При выполнении суммирования мы воспользовались известным разложением в
ряд In 2 (см. справочник [90], 0.232). Отсюда емкость
С = у = 2а1п2.
Для определения потенциала с помощью формул (111.32), (Ш.ЗЗ) запишем г и
г7 в цилиндрических координатах (ось z совпадает с осью симметрии
Рис. 67
системы, начало координат в точке касания сфер). Тогда z' = Г1 = ^г^1'7-2
= ri + и Дл* потенциала получим
shfc
" (в - д'И А
, ч q R2q г2 / т fkR2r!\
*l) = c-cFj-----------Жш-------* (-)dL
0
Член у; добавлен для того, чтобы (р(г) обращался в нуль при r-юо.
О
§ 3. Специальные методы электростатики
299
217. Угол /3, под которым пересекаются сферические поверхности (будем
отсчитывать его вне проводника) выражается формулами:
Выбрав центр инверсии О на линии пересечения сфер, положив радиус
инверсии равным 2а и производя инверсию, получим клин с двугранным углом
/3 и ребром (ось z'), перпендикулярным плоскости симметрии (а = = 0,7г)
рассматриваемого проводника. На рис. 67 изображен случай ?i > О, ?2 < 0.
При инверсии в точке О появится заряд Qg - -2aV. Как легко может быть
показано, угол 7 = ?ь если отсчитывать 7 от той грани клина, в которую
переходит сферическая поверхность ? = ?1. При преобразовании инверсии
поверхности ? = const переходят в полуплоскости а' = const, причем
Расстояния гиг' могут быть выражены через координаты р, ? точки
наблюдения М (при этом нужно использовать соотношения между декартовыми и
тороидальными координатами из задачи 68, а также рассмотреть подобные
треугольники ОО'М' и ОО'М):
2тг - |^2 - ?i|> если ?1 и ?2 одного знака,
2тг - |?i + 62I, если ?1 и ?2 разных знаков.
7 - а' при 0 < а' < 7Г + 7,
7 - а' + 27Г при 7Г + 7 < а' < /3 (если /3 > 7Г + 7).
(1)
р
г =
y'2(ch р - cos?) '
(2)
Используя выражение для потенциала клина, полученное в задаче 206, а
также формулы (1) и (2), получим после некоторых преобразований следующее
выражение для емкости:
300
Глава III
218. л)С = § (sin 0 + 0);
6)0 = 2fl(l--L)"llA
_c
интеграл из решения задачи 217 берется подстановкой е 2 = х.
га. c = f(s-X).
Глава IV
ПОСТОЯННЫЙ ток
220. ^
"^2 ^2 - &
221. Сопротивление катушки гальванометра должно быть равно внешнему
сопротивлению R.
222.
3
R = -г при п = 2,
R = Щ-r при п = 3,
R = при п = 4.
Использование соображений симметрии позволяет, например, в случае п = 3
ограничиться всего тремя контурными токами.
223. Введем контурные токи, как показано на рис. 12. Уравнение Кирхгофа
для ячейки ВкАкАк+\Вк+\ имеет вид
fk+i +JW = (2 + f)j?*. (1)
Это линейное разностное уравнение второго порядка имеет два линейно
независимых решения: ека и е~ка, где
а _ 1 IR
1 При выводе этого и нижеследующих выражении полезно помнить, что формулы
гиперболической тригонометрии получаются из формул обычной тригонометрии
заменами
cos а -> ch a, sin а -> i sh a.
302 Глава IV
Общее решение (1) имеет вид Ук = А'ека + В'е~ка. В данном случае удобно,
перегруппировав члены, записать (1) в форме
У к = A ch(j3 - к)а, (3)
где А и /3 - произвольные постоянные. Определим их из граничных условий
на концах линии. Рассмотрим последнюю ячейку. Уравнение Кирхгофа для этой
ячейки принимает вид
Jn(R + Ra + r)~ Jn-ir = 0. (4)
Подставив в (4) выражения токов и Jn-i из (3) и используя (2), получим
после сокращения на А уравнение для определения /3:
Rachna + vTirshfn + ^)а
th/За =----------------)----------(5)
Ra shna + V-Rrchl п + ^Ja
Значение постоянной А можно получить, составив уравнение Кирхгофа для
начальной ячейки линии:
Jo (R + Ri + r) - Ji г = S. (6)
