Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
непрерывностью потенциала при г = го. Это даст
?(г - Го) = - r0)8(a - 'y)S(z).
Компонента Фурье
ОО
потенциала <p(r, a, z) удовлетворяет уравнению
и граничным условиям (см. рис. 11):
<Рк(г,0) = <рк(г, 0) = 0, <рк(со,се) = 0.
(3)
(4)
t ОО
4>к =
при г < а.
(5)
ОО
71=1 /3
BnKnn(kr) sin при г > а.
__1 в Р
ппа
In7Г ( кт0 )
0
(6)
Ап К птг (кг о)
0
292
Глава III
Во-вторых, потребуем, чтобы потенциал (5) удовлетворял уравнению (2).
Подставив (5) в (2), помножим обе части получившегося равенства на sin
ШШ. (771 = 1,2,...) и проинтегрируем по а от 0 до /3. Учитывая
ортогональность функций sin в указанном промежутке, получим
ГП7Г7
~Г'
(7)
где
Яш(г) =
' Ат1т-к (кг) при г < а,
0
ВтКтт (кг) при г > а.
0
Функция Rm(r) непрерывна при г = го, но ее первая производная по г
испытывает при этом скачок
6 = д^(г0 + 0) - Rm(ro - 0) = кВтК'гпп (kr0) - kAml'rnn (kr0).
0 0
Поэтому вторая производная Rm(r) будет равна R^(r) = bS(r - го).
Подставляя это выражение в (7) и отбрасывая члены, ограниченные при г =
го, получим второе уравнение для определения Ап, Вп:
kBnK'n,г (кго) - кАп1'Пк (кго) = -р- sin
Т Т pro (3
(8)
При упрощении выражений для Ап и Вп полезно воспользоваться формулой
Kv(x)I'v(x)-K'v(x)Iv(x) = l.
207.
/
arctg
, г] , а- 7 2 COS 2
ch 5 - cos Q " ^
, 77 а + 7
2 C°S 2
ch?-cos^
§ 3. Специальные методы электростатики
293
где
Ло = yjr%+r2 + z2 - 2гг0 cos(7 - а) = \/2гго ¦ \/ch77 - cos(7
- а),
RQ = yJrQ+r2 + z2 - 2гг0 cos(7 + а) = \/2гго ¦ \/ch77 - cos(7
+ а).
-i)
208. а = const • г ^ ,
где г - расстояние до ребра клина. В частном случае клина,
находящегося
в поле точечного заряда (см. задачу 205),
const =
q^ro sin У Г(|1 + 1)
Отсюда видно, что а -> 0 при г-*¦ 0 и >3 < 7г; сг -> оо при г -> 0 и /3 >
7г. В частном случае, когда заряд находится у края плоскости,
ег ос Ц=. ф-
209. Поместим заряд q в начале координат, а ось z направим
перпендикулярно поверхности пластинки. Тогда уравнения передней и задней
поверхностей ее примут вид z = а и z = а + с соответственно. Будем искать
потенциал в виде
ОО ОО '
ipi = q J Jo(kri)e~k^ dk+JAi(k)Jo(kri)ekz dk (-00 < z < a), о 0
OO OO
<P2 = JBi(k)Jo(kri)e~kz dk+JB2{k)Jo{kr\)ekz dk (a < z < 6), (1)
о 0
OO
ipz = J A2(k)Jo(kr\)e~kz dk (b < z < 00, где b = a + c).
0
Граничные условия на поверхностях пластинки дадут систему четырех
алгебраических уравнений для определения коэффициентов А\, А2, В\, В-г.
294
Глава III
Решая эту систему, получим:
0-2кь _.
М =40 Bi
-2 ка
1 - (32е~2кс 9(1 -0)
1 - /3 е
2^-2кс '
M=q В* =
1 - /З2
1 -/32e-2fcc' 9/3(1 - /3)е-2"
1 - /32е'
-2кс
(2)
где /3
? + 1
, Ь = а + с.
Формулы (2) совместно с (1) дают решение нашей задачи. На больших
расстояниях за пластинкой (z > 0) поле принимает вид:
+
pz
(г \ + Z2?/2'
,2^2 (е - I)2 где n = V1 + У з Р = - 2е
210. "М) = ^УЛ"'- |г
ttl О
chfca
-Jo(kri)dk,
где n = \/х2 + у2 (рис. 64).
При yjz2 + г2 -> 0 (вблизи заряда)
Ч>
2 q
(е + 1)-\/г1 + z<2
(ср. с задачей 129).
Потенциал можно представить в виде
Ч>
_ 2д
? + 1 2-!
(-1)"
п=-оо л/г1 + (Z~ 2ап)2
Соответствующая система изображений приведена на рис. 666.
211. Можно ввести бисферические координаты так, чтобы поверхности
внутренней и внешней обкладок были координатными поверхностями ? = ?i и ?
= ?2 соответственно. Для этого нужно провести ось z через центры обкладок
так, как это показано на рис. 65. Координаты центров обкладок будут при
этом равны z\ = a cth ?1, z2=acth?2 (а - параметр би-сферических
кооодинат). Радиусы обкладок связаны с величинами а, ?1, ?2
§ 3. Специальные методы электростатики
295
уравнениями а = aish?i, а = агвЬ^г. Ь = z% - z\ = a(cth^2 - cth?i),
откуда
b2
2aib
, ch&
a% + b2 - a2 2 агб
(1)
Функция ф в пространстве между обкладками конденсатора удовлетворяет
уравнению
дф
1 д2ф 1
(2)
Производя в уравнении (2) разделение переменных и учитывая, что в нашем
случае ф не зависит от азимутального угла а, найдем частные решения этого
уравнения, ограниченные при т) = 0,7г:
Ф1(С,П) = Atch(l + ^jC + Btsh(l + |^jP/(cos7?), где I = 0,1,2,3, .
Рис. 65
ОО
Будем искать ф в виде ряда VKCi7?) = И i7?)- Коэффициенты Ai
1=0
и Bi определяются из граничных условий ф(?-г, tj) = О,
^(6."?) = V"(2ch^i-2cos"y) 2 = УУ^е
l=o
Pi (cos Tj).
296 Глава III
Окончательно получим:
,___________~ e-(l+^' sh(i+lW-fc)
<P&V) = F\/2ch?-2cos77V------------------г-----------Pi{cosr)). (4)
to sh(/ + i)(6-6)
Емкость конденсатора
тг 2тг
1
dr] da.
п-Ч i _ 1 ff 1 d<Ph h
v ~4^vJ J Tidzhr,ha
о о
€=€i
Знак "+" в последней формуле объясняется тем, что вдоль внешней нормали к
внутренней обкладке координата ? убывает. Подставляя сюда (4) н используя
ортогональность полиномов Лежандра, получим:
С = ^+а 18h& Je-<2J+1><' cth(l + I)(ft -&). t=o
2 21.2
2|2 q - °Ю2 _|_________Q1Q2O______
02-01 ' (o2 - 0l)2(02 - О?)
213.
сц = +aish?i (i+2)€l cth^Z -1- |)(?i + &)" 1=0
C22 = Щ +a2sh^2Ee + |)(?i + &)"
1=0 e
~ e-(i+|)tt.+c.)
C12 = -ai sh& > - -------------------------,
