Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
обратиться в нуль, а при достаточно больших q или малых расстояниях а -
даже стать отрицательной (притяжение).
163. Пробный заряд q должен быть мал по сравнению с зарядами,
расположенными на других проводниках и диэлектриках, и не должен
находиться слишком близко к местам неоднородности среды, например, к
границам проводников и диэлектриков, чтобы обратное влияние зарядов,
наводимых пробным телом, было мало. Например, при измерении
электрического поля заряженного проводящего шара нужно, чтобы сила
электрического
§ 1. Основные понятия и методы электростатики 279
изображения была мала по сравнению с измеряемой силой Щ- (Q - заряд
а
шара, а - расстояние от пробного заряда до центра шара). Это приводит к
условию (см. ответ предыдущей задачи)
"2
(2а/R - I)2 (a/R)(a/R - I)2 '
которое выполняется только при не слишком малых a/R и не слишком больших
q/Q.
164. Изображением электрического диполя p=p(exsina+e*cosa)
в заземленном шаре является система, состоящая из точечного заряда q =
pR , (r\3 , . , Л
= - cos а и диполя р = р I J (-ех sin a + ez cos a), находящихся в точ-
п2
ке А! (рис. 63) на расстоянии г' = Цг- от центра шара.
p2il(r2 cos2 a + R2)
_ 2е(г2 - Л2)3 '
F = ~е(г? Дд2)4 [(2г2 + д2)cos2 a + 3i?2] •
АТ p*Rr2 sin 2a " ~2e(r2 - R2)3'
В предельном случае г -> R получим, полагая г = R + z, R -* оо, z =
const, результаты задачи 148 (диполь у проводящей плоскости).
165. а =----cos 1?,
4тгЯ3
где 1? - угол между р и направлением из центра в точку наблюдения.
Индуцированные заряды создают в полости однородное поле Е =
R
166. Силы, действующие на неоднородность, могут быть получены
дифференцированием величины
и' = Т,а1тО*1т (1)
1,т
при постоянных Q*lm.
280
Глава III
Величина U' отличается от истинной энергии взаимодействия области
неоднородности с внешним полем U, определяемой работой, которую надо
совершить, чтобы при наличии неоднородности создать поле <р (ср. с (III.
16)). При нахождении такой энергии нужно учитывать, что моменты Qim
зависят от внешнего поля. В частности, если область неоднородности
представляет собой незаряженный проводник или диэлектрик, то истинная
энергия взаимодействия неоднородности с внешним полем определяется
формулой
U=\Y,almQ*lm¦ (2)
1,тп
Коэффициент ^ можно получить так же, как это сделано в решении задачи
161, учитывая, что в этом случае Qim пропорциональны о/т. При нахождении
обобщенных сил с помощью выражения (2) путем дифференцирования по
обобщенным координатам как Qim, так и о/т следует считать переменными
величинами.
167. Uo = qifio - рЕ0, при этом
<Pi = <А)-г-Ео, v?2 = -^ + B_?) f = <?Е0 + (р • V)E0, N = р х Е0
ег ег
(вращательный момент вычисляется относительно начала координат).
169. Тело стремится занять такое положение, при котором его потен-
циальная энергия U = - ^р • Е - минимальна. Удобно направить координатные
оси вдоль главных осей тензора /?"*;, тогда U = +
+ /З^Е2 + /З^Е2). Отсюда видно, что если /3^ > /?М > /3^ > 0, то
минимум U имеет место, когда Е || х; если же /3^ ^ /?М ^ j3^ < 0, то
минимум получается при Е || z.
170. Ось стержня и плоскость диска стремятся установиться при ?i > ?2
параллельно направлению поля, а при е\ < ?г - перпендикулярно.
F - при " < " прсио.
ходит притяжение, при ?2 > ?i - отталкивание. В случае проводящего шара
?i -> оо. Суммируя геометрическую прогрессию, найдем энергию
§ 1. Основные понятия и методы электростатики
281
" ТТ q2 R
взаимодействия и =-----------^, откуда
2е2(Я2 - о2)
q2aR
2е2(а2 - Я2)2
(ср. с задачей 161).
Сделаем некоторые замечания к вычислению силы с помощью формулы (III.
16). Рассмотрим величину U' = f (е2 - ?i)E • Ei dV'. Объем V'
07Г у,
ограничен сферой S, бесконечно близкой к поверхности диэлектрического
шара и находящейся целиком внутри него. Интеграл, входящий в выражение
U', лишь на бесконечно малую величину отличается от потенциальной энергии
U взаимодействия точечного заряда с шаром. Введем вместо напряженностей
суммарного поля Е и поля точечного заряда Ei в однородном диэлектрике е2
соответствующие потенциалы и вынесем постоянную величину (е2 - ?i) за
знак интеграла. Тогда U' = 62 ?l f V<p • V<pi dV1.
07Г
V'
Применив формулу Грнна f V<p ¦ V<fii dV = $ dS + f <pA<pi dV, и
воспользовавшись тем, что внутри шара Atpi = 0, найдем для U следующее
выражение:
тт _ ?2 ~ ?12 _I______ R2l+1
62 t'o tel + (I + 1)^2 ' a2l+3 '
Оно совпадает с выражением, получающимся из формулы (2) задачи 166.
Отсюда для F получим приведенное выше значение.
<Р1-<Р2 2
arcch^-^]-1.
2RlR2
_ _J?| _l АЪ2м? U 2 Я4
173. сг = ±-т- = ±-г-5-------------------5-. . | , , --.где Ь =
ъ\{х2 - у2 - I?)2-\-Ax2y2Y а2Vа2 - 4И?
Начало координат находится в центре отрезка, соединяющего оси цилиндров и
выбранного за ось х.
282 Глава III
175. Если оси х, у, z параллельны главным осям тензора Eik, то
г' y/e(x)e(y)e(z)
(1)
При произвольной ориентации координатной системы формула (1) запишется в
виде
<р(т) = е
\f\?ik\?ik
