Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
сечение рассеяния а8. Интегралы от остальных слагаемых могут быть
преобразованы с помощью интегрирования по частям:
i У (п0 • п)(е • F)eifc(r-*V2 dfi =
2ir
= ^{[(n0-n)(e.F)ei^1-CO9tf)]|^-
0
7Г
_ f eikr( )(e.F)dcosl9\
J acosv J
0
Последний интеграл при повторном интегрировании по частям дает члены,
пропорциональные 1/г, и поэтому может быть отброшен. Кроме того, нужно
отбросить член с осциллирующим множителем е2гкг, так как он дает нулевой
вклад в полный поток энергии. Чтобы убедиться в этом, учтем, что
представление о строго монохроматической волне является идеализацией. В
действительности, всякая реальная "монохроматическая" волна является
суперпозицией гармоник, частоты которых лежат в более или менее узком
интервале Aui. При усреднении множителя 2гкг по любому такому интервалу
получим нуль, так как г очень велико. Поэтому
\ J(по • п)(е ¦ F)eifc(r-*V2 сШ = ^[е ¦ F(n0)].
Аналогично вычисляются интегралы от других слагаемых. Члены, содержащие
множители (е • п) и (е* • п), при интегрировании не дадут вклада,
вследствие того, что (е • по) = 0. Подставляя вычисленные интегралы в
(1), получим окончательно
<rt = ^Im[e- F(no)].
(3)
§ 3. Дифракция
427
Оптическая теорема (3) допускает простую физическую интерпретацию: полное
сечение дает меру ослабления первичной волны. Это ослабление является
результатом интерференции падающей волны с той частью рассеянной волны,
которая имеет ту же поляризацию и направление распространения, что и
падающая волна. Поэтому полное сечение оказывается связанным с амплитудой
рассеяния "вперед".
468. Рассеянная волна создается электрическим и магнитным ди-польными
моментами, которые индуцируются падающей волной. Амплитуда рассеяния F(n)
(см. предыдущую задачу) определяется по формулам (XII. 17) и (XII.20).
Окончательный результат:
470. Сила направлена вдоль волнового вектора падающей волны и имеет
величину
где 70 - средняя плотность потока энергии в падающей волне и
интегрирование производится по всему телесному углу.
471. Для идеально проводящего шара:
для диэлектрического шара:
472. Применяем дифракционную формулу (VIII.25). В качестве поверхности
интегрирования выберем плоскость, в которой находится экран. Тогда на
поверхности интегрирования
469. <та = 67г62?'.
pikR\ Z\T
и = А--, dSn = Зят dr cos(ili, z) = 27г-=- dr,
428
Глава VIII
где А = const. После подстановки этих выражений в (VIII.25) переходим к
новой переменной интегрирования р = R + R\:
ОО ОО
/(eik(R+Ri) f gikp
---------rdr = -ikAz\ " , . dp, (1)
RRi J pRi(p) v '
a po
где ________
po = y/a2 + z2 + \Ja2 + z2.
Интегрированием по частям можно представить (1) в виде ряда по
возрастающим отрицательным степеням кр; условие А <С а позволяет
отбросить все члены ряда, кроме первого. Это дает
r pikVa^+z7 Up{z) = U0--------j-q---,
iky/a2+zJ u
где щ = A t - - амплитуда падающей волны на границе экрана.
у/а2 + z\
Переходя к интенсивности I ~ |ыр|2, имеем
Цг) = h. , Z' , (2)
(у/а2 + z2 + \/а2 + z2)
В точке, симметричной относительно экрана (z\ = z)\
/о
v2
7(*) = Т '-ГГ-24 + z*
Таким образом, в симметричной точке за экраном, не слишком близкой к
нему, будет светлое пятно.
Этот результат, противоречащий представлению о прямолинейном ходе
световых лучей, был теоретически предсказан Пуассоном (1818 г.), который
выдвигал его в качестве возражения против теории дифракции Френеля и
волновой теории света в целом. Однако эксперименты, выполненные Араго и
Френелем, подтверждали наличие пятна, появляющегося вследствие симметрии
экрана. Волны, огибающие его края, приходят в среднюю точку с одинаковыми
фазами. Очевидно, таким свойством обладают все точки, лежащие на средней
линии: в этих точках интенсивность света будет значительно больше, чем в
соседних, не лежащих на оси z.
§ 3. Дифракция
429
473. Используя принцип Бабине (см. (VIII.31)), получим при z =
= z\ " а:
Интенсивность света на средней линии круглой диафрагмы осциллирует
бесконечное число раз, уменьшаясь до нуля при z -> оо. Убывание
интенсивности по оси связано с тем, что параллельный пучок становится из-
за дифракции на отверстии расходящимся и поток энергии через отверстие с
увеличением z распределяется на все большую площадь.
475. Пользуясь формулой (VIII.30) для дифракции Фраунгофера, находим
где k' k = q, qy и qj_ - составляющие q в плоскости экрана и в
перпендикулярном направлении.
При интегрировании по плоскости отверстия воспользуемся полярными
координатами с началом в центре отверстия и полярной осью вдоль qy. Это
дает
где Iq - интенсивность первичной волны на краю отверстия.
474. При г > а, / = 410 sin2
где а - угол дифракции, Iq - интенсивность падающего света. В случае
круглого отверстия
где Iq ~ 7ra2|tto|2 - полная интенсивность падающего на отверстие света.
476. Дифрагированная волна будет описываться функцией
где через в обозначен угол падения.
430 Глава VIII
С помощью формул (П 3.11) и (П 3.9) получим
dl = \иР\2Я% dD. = I0 Jl Ж,
