Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
быть целым. Если считать, что т принимает и отрицательные значения, то в
выражении для Фт(а) достаточно оставить только один член, например, егта.
Окончательно Е' (г, а) примет вид
ОО
Е'(г, а) = <з0 ? AmHg\kr)eima- (7)
т=-оо
414 Глава VIII
на больших расстояниях (7) переходит в (6), причем
Ла) = ДЕ^'("'?'Й-
Коэффициенты Ат ряда (7) нужно определить из граничного условия на
поверхности цилиндра. Так как он считается идеально проводящим, то
Е' + Е0 = 0 при г = а (8)
или
gifcaсова + J2 AmH^(ka)eima =0. (9)
т=-оо
жй оima
Пользуясь ортогональностью функций elmQ, получим
27Г
J еЦкаcosa-m'a) fa + 2пАт,н?)(ка) = 0,
О
откуда с помощью (П 3.11) находим
А" = im^lka). (10)
н?\ка)
Полное электрическое поле, таким образом, равно
E(r,a) = Seikrcosa - S0 Y fea) H?\kr)eima. (11)
V m H&\ka) '
Компоненты магнитного поля определяются по формулам (1):
Нг = -?,о sinaeikr сова - S0 Y] (12)
m Н?\ка) кг
тт с,______ikr cos а , • V- гт~^т(ка) (LH^ (кг) ima
Ha = -&0cosae +(r)о>^-----ттт---------е • (13)
^ Н?\ка)
Вторичное электрическое поле поперечно во всем пространстве; вторичное
магнитное поле становится поперечным на большом расстоянии от
§ 3. Дифракция
415
цилиндра, при 1 (волновая зона), когда продольная составляющая Нг
исчезает вследствие наличия лишнего множителя кг в знаменателе.
Поверхностная плотность тока определяется из граничного условия для
касательной составляющей Н:
г(а) = iz(a) = -^На(а,а).
Полный ток:
Ji(ka) -
Мка)н[г)(ка)
Н(tm)(ка)
451. В рассматриваемом случае поле двумерно. Поэтому в общей формуле das
= М- (VIII.26) под dl нужно понимать интенсивность вторичных
7о
волн внутри угла da, отнесенную к единице длины цилиндра: dl = 7г da.
Эффективное дифференциальное сечение рассеяния будет иметь размерность
длины. Пользуясь результатами задачи 450, найдем
das = \f(a)\2 da,
где
• гг"
Jm(ka)
я(1)
¦Пт
(1)
При произвольных ка формула (1) весьма сложна; она существенно
упрощается, если ка <С 1. В этом случае в бесконечной сумме для /(а)
достаточно учесть один член с т = 0, что дает изотропное распределение
вторичного излучения:
dcTa = 7T(ia =-----------^-----da. (2)
2fcln (ка) 4 In (ка)
Полное сечение получится интегрированием (1) по da. Воспользовавшись
ортогональностью функций егта, получим
°- = \ Е
т=-о
При ка 1 (3) переходит в
Jm(ka)
Нт\ка)
7гА
(3)
21п (Ы)
416
Глава VIII
452.
Hz = Жо Er = Жо Еа = Ж0
ikr cos
im н?Цкг)е(tm)
т=-оо
н?У(ка)
ьУ"
cos ae
,ikr cos a
кГ m=-oo н?У(ка)
•№)
+ ? *
TO+l
-оо н?У(ка)
н?У(кг)е*
где a отсчитывается от направления к, а ось цилиндрической системы
координат совпадает с осью цилиндра.
das(a) = ^ ^ а(1 - 2 cos a)2 da, as = f
п2к3а4.
о 4
453. da's = cos2tpdcr\\ + sin2ipda±, da" = ^(da\\ + da±).
454. Неполяризованную волну рассматриваем как совокупность двух
некогерентных компонент одинаковой интенсивности, у одной из которых
вектор Е направлен вдоль оси цилиндра, а у другой - перпендикулярно оси.
Сечения рассеяния первой и второй компонент получены в задачах 451 и 452.
Степень деполяризации р определяется отношением интенсивностей рассеянных
волн (меньшей и большей):
р = = ^(fca)4 ln2(fca)(l - 2cosa)2.
Так как (ка) "с 1, то р очень мало, т. е. рассеянные волны почти
полностью поляризованы при любом угле рассеяния; при cos a = |,т.е. при a
= 60°, р обращается в нуль.
455.
Н, = Жп
nikr cos a
ш"оо гся?} (ка) - н?У (ка) где ? - поверхностный импеданс металла;
На = Нг = 0, E=irotH.
К
§ 3. Дифракция
417
456. Q
ас^Жо
JLNm - JmNL
гСя?> - Н?У
, где - вещественная часть
поверхностного импеданса. Цилиндрические функции Jm, Nm и Н^} (см.
приложение 3) и их производные берутся в точке ка.
Сечение поглощения:
= ^ = 2тгаС'У 7о "
V N - 7 N'
гСЯ,
(1)
Я,
(1)'
При ка <С 1, т. е. при А > а, поле в окрестности цилиндра является
квазистационарным (проводящий цилиндр в продольном квазистационар-ном
магнитном поле, см. задачу 379). Поэтому, выразив ?' через проводимость а
с помощью (VIII.9) и (VIII. 11), получим для Q выражение
Q
асЖ§
~8~
V 2тгсг'
которое совпадает с найденным в задаче 381 для случая сильного скин-
эффекта, если в нем выразить Q через магнитное поле.
457. При г > а:
Ez = <зо
Лкг сое
CJ'm{ka)Jm{k'a) - Jm(ka)J'm(k'a) m=-оо ' H&\ka)J'm{k'a) - (Н?У
(ka)Jm(k'a)
х H$(kr)eima
при г < а:
р V ,т^(к'а)Н^(ка)-^(к'а)Н^'(ка) ima_
bz = &0Q > г ------------т----------------т----Jm(kr)e ;
оо JU(k'a)H?\ka) - CJm(k'a)H?\ka)
Здесь - амплитуда падающей волны, С = к = к' = ,
остальные компоненты Б равны нулю.
Поле Б вычисляется по формуле
Н
шц
¦ rot Е.
418
Глава VIII
458. Дипольные моменты шара запишутся в виде
р = Д,Е0е %ш\ m = /ЗтН0е
-iwt
где 0е и 0т - электрическая и магнитная поляризуемости шара, которые в
общем случае являются комплексными величинами.
По формулам (XII. 17) и (XII.20), приведенным в гл. XII, найдем
компоненты векторов Е и Н рассеянной волны:
На = Ев = Нв = -Еа
LJ2Eq
С2Г
(/?ecos0 + /?m)cosa,
+ Pm) sin а.
err
