Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
имеют более сложный вид (см. [118]).
419. Из формул Френеля (VIII. 19), (VIII.20) получим, что при во -> ->
7г/2 амплитуда прошедшей волны Е\ -> 0, а амплитуда отраженной волны Е2 -
" -Ео- Это означает, что плоская монохроматическая волна не может
распространяться вдоль границы раздела диэлектриков.
420. Закон преломления принимает в этом случае комплексную форму:
fci sinв0 = к2 sinв2, fci = к2 = %е'2 + i^p- = к2 + ik2\
sin в2 и cos 02 являются комплексными величинами.
Положим cos 02 = рега, где р и а - вещественные величины, зависящие от 0о
и электрических постоянных среды. Параметры р, а определяются из системы
уравнений:
L2/U2 _ U/2\ 01.2и и/
(? cos2а = 1- ---т-^-- sin2 0о, р2 sin 2а = -122 sin2 во-
|fc2|4 |fc2|4 Волна, прошедшая в проводящую среду 2, описывается функцией
E2(r,t) = E2ei(k3e3-r~ut).
§ 1. Плоские волны в однородной среде. 393
Отделяя вещественную и мнимую части в произведении к2е2 • г, получим
fc2e2 • г = (k'2 + ik'^x sin 62 + 2cos02) = izp(9o) + хк\ sin#o + zq(00),
где
р(в о) = р(к'2 sina + k'2 cos а), д(0о) = р(к2 cos а - к2 sina).
Таким образом,
Е2(г,<) = E2e-pzei(xkisine°+zq-ut'>.
Отсюда видно, что направления распространения и затуханий волны не
совпадают - волна неоднородна. Плоскости постоянной амплитуды z = = const
параллельны поверхности проводника. Плоскости постоянной фазы
определяются уравнением
xki sin во = zq(0o) = const, из которого следует, что вектор kj,
указывающий направление распространения волны, составляет с осью z угол ф
= arctg ?lnf° (рис. 83). Фазовая
Я\ро)
скорость в проводящей среде зависит от угла падения:
IV = ш .
\1я2{0о) + к\ sin2 во
421. Для определения коэффициента отражения от плоского слоя нужно найти
связь между амплитудами отраженной и падающей волн. Эту связь можно
определить двумя способами.
По первому способу - с помощью граничных условий. Учитывая, что на
границах z = 0 и z = а должны быть непрерывны касательные компоненты
векторов Б и Н, и что перед слоем со стороны падающей волны
имеются волны, распространяющиеся в обе стороны, а за слоем -
толь-
ко прошедшая волна, распространяющаяся в положительном направлении оси z,
получим из граничных условий:
" а12 + a23e-2ifc2° " /1Ч
?l = l+ouojse-**"^' W
где Ei - амплитуда отраженной, а Ео - амплитуда падающей волны,
1 - п12 _ 1 - n23 _ fik . ш
- '*12 - 'ЧИ _ <^К I. Ш ПГ~
"12 = 7-7--, <323=-. . , Tlik = \-FT, К2 = -
FV?2-
1 + П12 1 + Tl23 V *
394
Глава VIII
Второй способ решения задачи рассмотрение многократных отражений волны от
границ раздела. Используя формулы Френеля для нормального падения,
найдем, что амплитуда волны, однократно отраженной от границы z = 0,
запишется в виде
Sq = а^Ео.
Амплитуда волны, прошедшей внутрь слоя:
где
012 =
012Eq,
2
1 +П12'
Амплитуда волны, вышедшей из слоя в область z < 0 после однократного
отражения от границы z = а:
Si = 02icc2zPi2Eoe-2'k'a.
Амплитуда волны, вернувшейся в область z < 0 после s-кратного отражения
от границы z = а:
S3 = 021012О'23е~2гк2а(а21О'23е~2гкзаУ~1 ¦
Полная амплитуда Е\ волны, отраженной от плоского слоя, равна сумме всех
S3:
ОО ОО
Ei = = "12-^0 + 021012<Х2зе~2гк'2а У^Шгзе-^Т-1-
в=0 3=1
С помощью формулы для суммы бесконечно убывающей геометрической
прогрессии, получим снова соотношение (1).
IЕ I2
Коэффициент отражения определяется как R = 1 . Находя мини-
|Яо|
мум R обычным способом, получим, что отражение минимально, если толщина
слоя удовлетворяет условию
о, - ап - п ^ , п - 1,2,3,...,
(2)
где Аг - длина волны внутри слоя.
§ 1. Плоские волны в однородной среде. 395
Рассмотрим наименьшую толщину слоя а = соответствующую минимуму R.
Приравнивая R нулю, найдем условие отсутствия отражения:
?2 = уЩЦ.
422. Уравнение, которому удовлетворяет электрическое поле, запишется в
виде (см. (VIII. 12)):
?f + 4(e--?MjS = 0. (1)
dz2 с2 V е*/а + IV
Мы должны найти решение этого уравнения, которое при всех z является
ограниченным и при z -" ±оо удовлетворяет некоторым условиям, вытекающим
из физического смысла задачи. При z -* - оо решение должно представлять
суперпозицию двух волн, падающей и отраженной, т. е.
Е(г) -" AeikoZ + Be~ikoZ, (2)
где k0 =
При z -" оо должна оставаться только прошедшая волна:
E(z) -" Ceikz, (3)
где к0 = у/е.
_Z
Произведем в уравнении (1) замену независимой переменной -еа = = ?. Новая
переменная меняется в пределах -оо ^ ^ 0 при изменении z
от -оо до +оо. С помощью подстановки Е(?) = ?~гкаф(?), получим для новой
неизвестной функции ф(?) уравнение
?(1 - ?)ф" + (1 - 2ika)(l - ?)ф' + х*а2ф = 0, (4)
2
где х2 = Это уравнение называется гипергеометрическим.
сг
Как следует из условия (3), функция ф(?) должна стремиться к постоянному
пределу при ? -> 0. Решением уравнения (4), ведущим себя указанным
образом, является гипергеометрическая функция (см. справочник [90],
7.200, 7.251):
396 Глава VIII
Поэтому решение уравнения (4) запишем в виде
ф = CF
-i(k + ко)а, -i(k - ко)а, 1 - 2ika, -е а
(5)
Чтобы найти вид функции ф при ? -> - оо, воспользуемся асимптотическим
