Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
где Iq ~ |uo|27ra2 cos0 - полная интенсивность падающего на отверстие
света.
Считая угол дифракции а (угол между к и к') малым, выразим дц через а,
угол падения в и азимутальный угол а' между q и плоскостью падения:
дц = ка\/1 - sin2 в cos2 а',
J?(kaa\/1 - sin2 в cos2 а')
dl = /п------------~------------all.
7га2 (1 - sin 0 cos2 a')
Формула становится несправедливой при скользящем падении
477. Применение формулы Кирхгофа в векторной форме (VIII.32) позволяет
получить следующие выражения для поля излучения:
pikR / sink'а \ / sinк'Ь\
Е, = Н" = -г(-^-) (-pj-) (1 + cos,") sina,
X у
pikR / sink'а\ / sinк'Ь\
?" = -Н, = +
X у
где д, а - углы сферической системы координат с полярной осью,
перпендикулярной плоскости отверстия, к'х = к sin д cos а, к'у = к sin д
sin a - проекции волнового вектора дифрагированной волны.
Угловое распределение излучения:
где /о = ff?02 - интенсивность падающей на отверстие волны.
§ 4. Когерентность и интерференция 431
478. Если направить оси х, у, z вдоль векторов Ео, Но и к
соответственно, то поле излучения:
" " ika2E0 eikR fJi(kasind)\
Ео = На =--------j-----_(____)(l+cosl))cosa,
2
где Iq = Щ-Е2 - интенсивность волны, падающей на отверстие.
О
При 1? < 1 имеем
dl = loJl(y dQ.
nv
Этот результат был получен в задаче 475 с помощью скалярной дифракционной
формулы.
§ 4. Когерентность и интерференция
481. ДП = ~ = \l) ' Телесный угол когерентности не
зависит от расстояния R до источника.
482. ДА и 3,52 • 1(Г10 см; 1± ~ А^ = 5,4 • 1(Г3 см; *ц ~ ^j = 7,1 см; ДП
~ 1,3 • 10-31 стерад; AV = Z2 Zy ~ 2,1 • 10-4 см3.
483. R = 9,46 • 1018 км, т. е. в 6,3 • 105 раз больше, чем расстояние от
Земли до Солнца. Отсюда следует, что 1±_ и 3,4 • 103 см - в 6,3 • 105 раз
больше, чем 1± в предыдущей задаче. Что же касается 2ц ~ А2/ДА ~ 7,1см и
ДП и 1,3-10-31 стерад, то они сохраняют те же значения, что и в
предыдущей задаче. Объем когерентности AV " 8,3 • 107 см3 - в 4 -1011 раз
больше, чем объем когерентности солнечного излучения на Земле.
Характерным является увеличение степени когерентности света по мере его
распространения. Это относится только к поперечной когерентности.
484. 2 ц ~ и 3 • 108 см. Так как от оптического генератора идет
конус лучей с углом раствора Д$ ~ A/D = 10-5, то прилегающий к генератору
объем когерентности имеет вид конуса, обращенного к генератору
432 Глава VIII
вершиной.
1± =
D = Ьсм у генератора, А
1ц ~ 6000 см у основания конуса когерентности,
AV = |я-(у)2*|| " 28 • 1014см3.
485.
8 =
27гЛс1 _ 1 ХкТ]
8 ~ ~ 200 при А = 1см, Т = 273К,
27Г ПС
6 = е~100 и 10-43 при А = 5 • 10-5 см, Т = 273 К,
<5 = -^------"0,07 при А = 5 КГ5см, Г =10000К.
е' - 1
486. 5 = 5-1018, Т = 1,4 • 1023 К.
ОО
487. Г(т) = / I(u>) cos ujtcLo.
о
48". Г(г) = 2/,1п(^/2) cow.
489. Разность хода для света от одного из независимых излучате-
w / / /\ XX' + уу' , *
леи, находящегося в точке (х , у ), есть si - s2 " -------р (см. рнс.
26),
ft
если учесть, что поперечные размеры источника много больше, чем D = =
yjx1 + у2. Поле в точках ri(0,0), г2(0,0) создается всеми излучателями
источника:
u(n,t) - ?>(*), w(r2,t) =^Щ(t) exp [-гXX* * /с],
г г
§4. Когерентность и интерференция 433
где щ(г, t), щ(т, t) - амплитуды поля г-го излучателя на первом и втором
отверстиях в момент времени t. Корреляционная функция
Г(гьг2,0) = u*(ri,f)u(r2,f) =
zlxx\ + yy'i ^ /ЛЧ __Г + yy'j
22и*(*)иг&) exp -ikXX% д УУг} +^2u^(t)uj(t) exp
R
Второй член в Г пропадает из-за некогерентности независимых излучателей.
Первый же член представляет собой усредненную интенсивность излучения от
отдельных излучателей с учетом разности хода si - s2. Перейдя от
суммирования к интегрированию, получим
Я/(а;/'У1)ехР[~гкХХ дУУ ] dx'dy'
JJI(x',y')dx'dy' '
s
где интегрирование выполняется по поперечному сечению источника.
490. a) B(D) = |7(D, 0)| = cos
А
б) B(D) = (2A/ttD)Ji
-cos^-7Г aD
A
491. a) p = aR = ^ = 1,47 x 108 km;
ZUq
6)d=aR= 1,22^ = 6,28 x 108 km;
Do
диаметр звезды Бетельгейзе приблизительно в 450 раз больше диаметра
Солнца и, следовательно, больше, чем диаметры орбит не только Земли, но и
Марса!
492. От первого источника идет плоская волна щ = А\ exp[rkir] = = |-AiI
exp[r(kir + ai)], фаза ai и амплитуда A\, которой меняются случайным
образом, причем А\ = 0, а |^4i |2 имеет постоянное ненулевое значение. От
второго источника идет волна и2 = Л2ехр[гк2г], обладающая аналогичными
свойствами. Обе эти волны поступают в фотоэлементы Pi и Р2. Неусредненный
сигнал от фотоэлемента Pi был бы пропорционален
/(ri,f) = |"i(ri,f) + "2(ri,f)|2 =
= |j4i |2 + |j4212 + -Ai-Ajexp^ki - k2) • r] + .Ai.A2exp[-i(ki - k2) •
r].
0)
434
Глава VIII
Сигнал (1) испытывает случайные флуктуации за счет флуктуаций фаз А\ и А2
на частотах, значительно меньших, чем частота волн и\, и2, пришедших от
источников. Эти флуктуации, тем не менее, не регистрируются и наблюдается
усредненная интенсивность. При включении только одного детектора
усредненная интенсивность
