Сборник задач по электродинамике - Батыгин В.В.
ISBN: 5-93972-155-9
Скачать (прямая ссылка):
ДР = аЕ" = а2д(н0хЦ),
Ли
благодаря чему индукция D выразится через Е и производную
D = Е+4тг(Р + ДР) =бЕ + 4тга2д(н0 х Ц). (2)
Здесь е = 1 + 4wNf3e - диэлектрическая проницаемость при отсутствии
внешнего магнитного поля.
При гармонической зависимости Е от времени уравнение (2) даст связь между
D и Е вида
D = еЕ + г(Е х g).
где g = 47га2о>ДНо - вектор гирации (см. (VIII.25)). Таким образом, среда
будет гиротропной. Как следует из результатов задачи 437, в направлении
вектора g возможно распространение двух волн, поляризованных по кругу в
разных направлениях и имеющих разные базовые скорости v± =
k±
Определяя k± обычным способом, получим
4 = <4(е±д).
с
442. Волна, у которой электрический вектор параллелен проводникам,
отразится от решетки, как от сплошной металлической плоскости. Волна, у
которой электрический вектор перпендикулярен проводникам, будет
распространяться как в свободном пространстве, потому что она не возбудит
токов в решетке.
443. Будем искать решение уравнений Максвелла в виде плоских волн.
Амплитуда Eq этих волн удовлетворяет системе уравнений
408
Глава VIII
В случае продольного электрического поля к х Ео = 0, поэтому Но = 0,
?(ы)Ео = 0.
Из последнего равенства следует, что продольное электрическое поле может
существовать, если
еМ = 0. (2)
Частоты продольных колебаний иа определяются этим уравнением и являются,
как правило, комплексным, иа = uia - г7а. Это означает, что колебания,
возникнув, будут затухать. Если выполняется условие 7^ и)а, то затухание
за период колебаний мало. Такие колебания будут долгоживущими.
В случае плазмы с диэлектрической проницаемостью е(и) = 1 - о;2
- ----^ (см. задачу 312) частота продольных колебаний uq =
+ г-у)
= )Jljp + - у. При 7 -> 0 она совпадает с плазменной
частотой:
. . . 47Гe2N ,0\
И) = = у т • (3)
Согласно формуле (3), частота и не зависит от волнового вектора, поэтому
групповая скорость продольных плазменных волн равна нулю. Однако этот
результат имеет место только в первом приближении и связан с тем, что не
учитывается пространственная неоднородность электрического поля.
Продольные плазменные волны представляют собою колебания облака
электронов относительно облака ионов (последние в рассматриваемом
приближении считаются неподвижными).
444. Е(х, z, t) = Ео ехр[-а|х|+i(kz-u)t)\, где частота и> определяется
из условия е(и) = - 1: и =
Постоянная затухания а выражается через волновой вектор к:
-в
в случае медленной волны a ri к. Волновой вектор к может иметь
произвольную величину. Амплитуда Ео имеет компоненты Eqv = 0, Eqx =
•JL
= ±ЩЕог ~ ±iEoz, где знак "+" соответствует х > 0, а знак "-" области х <
0. Таким образом, поляризация близка к круговой, причем вектор Е
вращается в плоскости xz. Амплитуда магнитного поля Но(0, Ноу, 0) мала по
сравнению с Ео: Щу = Eozuj/kc < Eqz, что характерно для плазменных
колебаний. Рассмотренная волна называется поверхностной плазменной
волной.
§ 2. Плоские волны в анизотропных и гиротропных средах
409
445. Как следует из задачи 437, вдоль направления постоянного магнитного
поля возможно распространение двух волн с правой и левой круговыми
поляризациями. Волновые векторы этих волн определяются равенством (см.
задачу 321):
fc2c2
J1
= ?± = 1 -
и(и + i7=Fu>H - ШНиН)
При Qh и влияние движения положительных ионов очень мало, их можно
рассматривать как неподвижные. В обратном предельном случае Пя >ши 'уи
роль положительных ионов становится опре-
деляющей:
k2c2 _ I I иР _ -I , 47tNMc2 и2 ujHnH + я2 '
Обе волны распространяются с одинаковой фазовой скоростью vv, которая
совпадает с их групповой скоростью vg:
U1
к у 1 + 4тг NMc2/H%
или
Яп Яп
у/АжNM VS'
(2)
(3)
если можно пренебречь единицей по сравнению со вторым членом; здесь т =
NM - плотность газа (очевидно, массой электронов можно пренебречь). Если
бы движение положительных ионов не учитывалось, то вместо конечной
постоянной скорости (3) при и -> 0 получилась бы нулевая скорость, и
соответствующие волны не могли бы существовать. Таким образом,
механические колебания газа и колебания электромагнитного поля
оказываются в этом случае тесно связанными. Волны, распространяющиеся со
скоростью (3), называются магнитогидродинамическими. Они играют большую
роль в астрофизических и других процессах.
446. Линеаризованное уравнение, связывающее амплитуды высокочастотных
составляющих намагниченности (то) и магнитного поля (ho), вытекает из
(VI. 15) и (VI. 16):
го>т0 = -7(М0 х h0) - 7(т0 х Н0) + 7<7/г2(М0 х т0). (1)
Здесь Мо - намагниченность насыщения, совпадающая по направлению с
магнитным полем Hq. Выбрав ось z = хз вдоль Но, определим с помо-
410
Глава VIII
щью (1) компоненты тензора [Лк-
Mil = М22 = 1 +
(ио + ак2) - и2 '
(2)
LJLJM
Мзз = 1,
Ц12 = -М21 = -*¦
(и)0 + ак2) - lj2 '
где
= 7Я0, шм = 47Г7М0, а = "J7M0.
Остальные компоненты /ijfc равны нулю.
Как видно из (2), магнитная проницаемость зависит теперь не только от
частоты, но и от волнового вектора. Это связано с тем, что
